常用隨機變數及其概率分佈
阿新 • • 發佈:2018-11-01
一、常用的離散型隨機變數及其概率分佈
1、(0-1)分佈(伯努利分佈(Bernoulli distribution)、兩點分佈)
如果隨機變數X 只可能取0與1兩個值,其概率分佈為:或寫成
則稱隨機變數X 服從(0-1)分佈或兩點分佈.它的概率分佈也可以寫成
2、二項分佈
在n重伯努利試驗中,如果以X表示事件A 出現的次數,則X是一個離散型隨機變數,它的所有可
能取值是0,1,2,⋯,n.設P(A)= p(0< p<1)。典型例子是扔硬幣,硬幣正面朝上概率為p, 重複扔n次硬幣,k次為正面的概率即為一個二項分佈概率。概率函式為
顯然,
3、多項式分佈
把二項分佈公式再推廣,就得到了多項分佈。比如扔骰子,不同於扔硬幣,骰子有6個面對應6個不
同的點數,這樣單次每個點數朝上的概率都是1/6(對應p1~p6,它們的值不一定都是1/6,只要和為1且
互斥即可,比如一個形狀不規則的骰子),重複扔n次,如果問有x次都是點數6朝上的概率就是:
4、幾何分佈
設試驗E只有兩個可能的對立的結果A 及A非,並且P(A)= p,P(A非)=1- p,其中0< p<1.將試驗E獨立地重複進行下去,直到事件A發生為止.如果以X表示所需要的試驗次數,則X是一個隨機變數,它可能取的值是1,2,3,⋯.由於事件{X = k}表示前k-1次試驗中事件A都沒有發生,而在第k次試驗中事件A 發生,因此我們稱隨機變數X 服從幾何分佈。
5、泊松分佈
設隨機變數X 的所有可能取值為0,1,2,⋯,並且其中λ>0是常數,則稱隨機變數X服從引數為λ的泊松分佈,記作X~π(λ).易知
在實際問題中經常會遇到服從泊松分佈的隨機變數.例如,在一個長為τ的時間間隔內某電話交換臺收到的電話呼叫次數;某醫院在一天內來急診的病人數;某一本書的一頁中的印刷錯誤數等都服從泊松分佈.
二、連續型隨機變數及其概率密度
1、均勻分佈
設連續型隨機變數X 的概率密度為:則稱X在區間[a,b]上服從均勻分佈.X 的分佈函式為
X的概率密度和分佈函式的圖形分別如圖所示:
2、指數分佈
設連續型隨機變數X 具有概率密度其中θ>0是常數,則稱X服從引數為θ的指數分佈.X的分佈函式為
X的概率密度及分佈函式的圖形分別如圖所示:
實際問題中的許多隨機變數,例如電子元件的壽命,旅客在車站售票處購買車票需要等待的時間等都可以看成是服從指數分佈。
3、正態分佈
設隨機變數X 具有概率密度其中μ,σ(σ>0)為常數,則稱X服從引數為μ,σ的正態分佈,記作X~ N(μ,σ2).X的分佈函式為
它們的圖形分別如圖所示:
容易看到概率密度曲線y= f(x)關於直線x= μ對稱,並在x= μ處取得最大值,在橫座標x= μ± σ處有拐點,以x軸為水平漸近線.
如果μ=0,σ=1,則稱X服從標準正態分佈,記作X~N(0,1).它的概率密度及分佈函式分別記作φ(x)與Φ(x),即
參考資料:隨機數學 吉林大學數學學院 高文森,潘偉 主編