P2421 [NOI2002]荒島野人

洞穴數不超過1e6 ---> 列舉

判斷每個野人兩兩之間是否發生衝突：exgcd

假設有$m$個洞穴，某兩人（設為1,2）在$t$時刻發生衝突

那麼我們可以列出方程

$c_{1}+p_{1}t\equiv c_{2}+p_{2}t (mod\quad m)$

移項一下：$(p_{1}-p_{2})t\equiv c_{2}-c_{1} (mod\quad m)$

去掉$(mod m)$，得$(p_{1}-p_{2})t-mx=c_{2}-c_{1} $

這不就是不定方程標準形式$ax+by=c$嗎！

用exgcd搞搞，求出$t$的最小正整數解

如果$t<=min(l_{1},l_{2})$說明在兩隻的有生之年會發生衝突

此時$m$是不合法的，向下列舉就行了

複雜度$O(1e6n^{2}logp_{max})$，然鵝實際效率遠高於介個

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define re register
 5 using namespace std;
 6 int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
 7 int
 
 max(int a,int b){return a>b?a:b;}
 8 #define N 17
 9 int n,C[N],p[N],l[N],x0,y0,g;
10 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
11     if(!b) g=a,x=1,y=0;
12     else exgcd(b,a%b,y,x),y-=x*(a/b);
13 }
14 bool check(int b){
15     for(int i=1,a,c,q;i<=n;++i)
16         for(int j=i+1;j<=n;++j){
 
17             a=((p[i]-p[j])%b+b)%b,c=C[j]-C[i];
18             exgcd(a,b,x0,y0);q=b/g;//求ax+by=gcd(a,b)
19             if(c%g) continue;
20             x0=(x0*c/g%q+q)%q;//先*c/g轉成原來的式子，再%(b/gcd(a,b))得到最小解
21             if(0<=x0&&x0<=min(l[i],l[j]))
22                 return 0;
23         }
24     return 1;
25 }
26 int main(){
27     scanf("%d",&n); int st=0;
28     for(int i=1;i<=n;++i)
29         scanf("%d%d%d",&C[i],&p[i],&l[i]),st=max(st,C[i]);
30     for(re int i=st;i<=1000000;++i)//注意是從洞穴編號最大的那個開始列舉
31         if(check(i)){printf("%d",i);break;}
32     return 0;
33 }