線性變換就相當於一個空間到另外一個空間的轉換，在數學建模時經常用到，T（x）這個x可以時一個空間中的座標，或者是基，或者是向量，線性變化就是將這些乘以一個矩陣，轉換到另外一個空間來表示，這個矩陣是線性變換的數學表示，不同的矩陣代表著不同的線性變換，當然線性變換在不同的的基下由不同的矩陣表示，不同基之間的轉換矩陣稱之為過渡矩陣，不同基下的線性變換表示可以通過過渡矩陣來求得。

正交變換是線性變換的一種特例，其表示經過線性變換之後其向量的長度也就是內積不發生改變。當然對應的其也有相應的矩陣表示，這個矩陣是正交矩陣（各行兩兩正交、各列兩兩正交）。在標準正交基下的矩陣為正交矩陣。標準正交基經過正交變換之後其仍是標準正交基。

對稱變換是線性變換的一張特例，其表示經過線性變換之後其向量的內積是相同的，相應的矩陣有的特性為：這個矩陣是對稱矩陣。對稱變換在標準正交基下的矩陣為實對稱矩陣。

正交投影變換我認為也是線性變換的一種，其表示的正交投影矩陣就相當於不同線性變化的A，只是它是由特殊的性質，A*A = A，A的轉置為A，正交投影矩陣就相當於廣義逆矩陣中的單位陣。