歐氏距離與馬氏距離

阿新 • • 發佈：2018-12-05

《應用多元統計分析》何曉群第五章

歐式距離的定義：

歐氏距離通常攜帶有量綱，因此量綱的影響會對距離的計算結果產生很大影響。

比如如果攜帶單位的話，兩對座標點是

A(0,5),B(10,0)

C(0,10),D(1,0)

如果同度量的話，比如都是cm，AB距離為 $\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}$ ,CD之間的距離為 $\sqrt{10^2+1^2}=\sqrt{101}$ ,AB的距離比CD長

但是用非同度量，比如橫軸座標用cm，縱軸座標用mm的話，此時縱軸座標就多了一個數量級。而歐式距離體現不出來，此時計算的公式為AB= $\sqrt{50^2+10^2}=\sqrt{2600 }$ ,CD的距離為 $\sqrt{100^2+1^2}=\sqrt{10001}$ .反而CD的更長了。

馬氏距離的定義

為什麼就沒有權重的影響了呢。為了給出座標的合理權數(意思是加一個權重，使得樣本的量綱影響消失)，用座標標準離差去除以每個座標，得到的標準化座標，距離為

$d(P,Q)=\sqrt{\sum\frac{ (p_{i}-q_{i})^2}{S_{i}}}$

這樣，由於方差也攜帶有量綱，且上面的減號的平方也攜帶平方的量綱，兩個一除就可以抵消了。這樣就消除了量綱的影響。

其中，如果設定 $a_{i}$ 為 $S_{i}$ 的倒數，就可以寫成

$d(P,Q)=\sqrt{\sum a_{i}(p_{i}-q_{i})^2}}=[(X-Y)^{'}A(X-Y)]^{1/2}$

其中A為P與Q的協方差矩陣的逆。此時就定義了馬氏距離

歐氏距離與馬氏距離

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