這兩天看黎曼猜想的新聞刷屏，雖然這個猜想還未得到證明，當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。反覆見之於是想了解一下，不過了解之前順便先看下相關的這個自然對數。

中學數學都知道e是一個常量，無理數，重要性不亞於圓周率，值約等於2.71828。但是這完全不能算是一個定義，也完全摸不清頭腦這個數從何而來。

不過現在如果稍微搜一下就可以知道這個數的數學定義式：

e為下式在n趨向於無窮大的極限：  (1 + 1/n)n 

到這裡，數學定義出來了，但一個數學常量之所以重要，一定是它的應用範圍非常廣，那麼光看這個式子，還不足以知道為什麼它的應用範圍廣。

不過這裡可以先給一個符合直覺的，假設的一個應用場景。

假設你往銀行存了1塊錢，銀行按年記利息，利率100%，那麼一年後，本息和一共翻了多少倍？這個很簡單，答案是2倍，因為利息1塊加本金1塊，就是2塊，比上原來的1塊就是2倍（好多餘的推理，不過不急，看後面）。

現在假設銀行比較勤快，不是一年計息一次，而是半年計息一次，那麼一年後本息和是多少倍？首先半年這個時間點本息和為1+1*100%，也就是2塊錢，一年這個時間點，前面的兩塊錢會產生複利，就相當於2+2*100%，就是4塊錢，所以半年計息一次就變成了4倍！是不是發現自己賺大了？

不過銀行當然不是傻的，憑啥我縮短成半年計息一次利率不變呢？好，假設現在銀行變聰明瞭，改成半年計息一次後，利率也相應調低，調低的規則是計息期縮短多少倍，利率就縮小多少倍。也就是說，計息變成半年後，利率縮減至50%。這種情況下一年後的收益增長是是多少倍呢？簡單按照複利公式就知道是(1+50%)^2=2.25倍，雖然沒有4倍那麼多，但是好歹比2倍還是要好對吧？

那麼再繼續往下做一個推演，現在假設再把計息期縮短一點，變成三分之一年(4個月)計息一次，利率相應縮減為33.33333...%,這種情況一年後的增長倍數是？繼續套用複利公式：(1+33.333333...%)^3=2.37037037037

怎麼樣，發現比2.25倍又賺更多了一點？

好了，事不過三，我就不往下做推演了，有興趣可以自己推演計息期變成1/4年，1/5年，1/6年的情況，記得利率也做相應調整。

不過我用Python畫了個圖，表示從一年一期到1/1000年一期計息的賺錢倍數的規律如圖：

原始碼如下：

可以看出的結論是，隨著計息期切分得越短，你的資產增長倍數會越來越大。但是並不會無限大，而是趨於收斂（往後走線條几乎就停滯了）。這個收斂的值就是2.718281828459...無限長，也就是自然常數e. 所以按照以上的計息期的控制方法，銀行就算把計息期縮減到無限短，到年底你也最多能得到e倍的原始本金，這就到頂了，不會再多了。

這就是一個最直觀的自然常數的理解。雖然不像圓周率那樣周長比直徑那麼直觀，但其重要性卻不亞於圓周率。然而正是因為這個不直觀，所以這個概念的提出比圓周率要晚得多得多。下面是查詢到的歷史：

第一次提到常數e，是約翰·納皮爾(John Napier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

總結來說就是十七世紀有人提出相近的東西，然後過了一百多年才正式有人定義並運用這個常數。相比圓周率，中國在東漢時期（公元三世紀）就已經有比較精確的計算了。所以可見其“不直觀”的程度。

不過發現晚不影響其應用廣，至於怎麼應用，對數表的繪製是一個應用之一，也是e其重要起源之處。相信牛頓那批人在做計算的時候經常碰到這個極限值，所以逼不得已提出了這個常數，我就不展開說了。總之可以理解為在某種規則下（比如上面銀行設定的那種計息期和利率的規則下）的增長率極限，而這種增長規則在宇宙中非常常見，普遍，因而非常重要。