自然常數e相關數列收斂

阿新 • • 發佈：2019-01-27

證明{(1+1n)n}收斂，只需證明此數列單調增加，且有上界即可。

當a>b>0時，有

an+1−bn+1=(a−b)(an+an−1b+...+abn−1+bn)
<(n+1)(a−b)an

也即
an[(n+1)b−na]<bn+1

取a=1+1n,b=1+1n+1代入上式可得
(1+1n)n<(1+1n+1)n+1

故數列是單調增加的。
取a=1+12n,b=1代回式子可得
(1+12n)2n<4，由此可得數列有上限，也即上限小於4。故可得此數列收斂。記作

limn→+∞(1+1n)n=e

下面證明

limx→∞(1+1x)

x=e

1、對於x→+∞的情形
∀x，∃n∈N，使得n⩽x<n+1，故有1+1n+1<1+1x⩽1+1n及(1+1n+1)n<(1+1x)x<(1+1n)n+1，也即

(1+1n+1)n+11+1n+1<(1+1x)x<(1+1n)n(1+1n)
對上式求極限，並使用夾逼定理可得
limx→+∞(1+1x)x=e

2、對於x→−∞的情形
若令x=−(t+1)，則x→−∞時，t→+∞，故

limx→−∞(1+1x)x=

自然常數e相關數列收斂

證明{(1+1n)n}收斂，只需證明此數列單調增加，且有上界即可。當a>b>0時，有 an+1−bn+1=(a−b)(an+an−1b+...+abn−1+bn) <(n+1)(a−b)an 也即 an[(n+1)b−na]<

自然常數e的意義

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一個有意思的自然常數e

以前學習數學的時候從來沒有深入想過自然常數e，只是將它當作一個數學符號來看待，今天看到一個百度貼吧大為驚歎，遷移至此公式中的e叫自然常數，也叫尤拉數，e=2.71828…。e是個很神祕的數字，它是“自然律”的精髓，其中暗藏著自然增長的奧祕，它的圖形表達是旋渦

關於自然常數e的來源與應用（超初級，也超恐怖）

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e是一個重要的常數，但是我一直不知道，它的真正含義是什麼。它不像π。大家都知道，π代表了圓的周長與直徑之比3.14159，可是如果我問你，e代表了什麼。你能回答嗎？維基百科說： "e是自然對數的底數。" 但是，你去看"自然對數"，得到的解釋卻是： "自然對數是以e為底的對數函式，e是一個無理數，約等於2.

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