損失函式和優化

機器通過損失函式進行學習。這是一種評估特定演算法對給定資料建模程度的方法。如果預測值與實際結果偏離較遠，損失函式會得到一個非常大的值。在一些優化函式的輔助下，損失函式逐漸學會減少預測值的誤差。本文將介紹幾種損失函式及其在機器學習和深度學習領域的應用。

沒有一個適合所有機器學習演算法的損失函式。針對特定問題選擇損失函式涉及到許多因素，比如所選機器學習演算法的型別、是否易於計算導數以及資料集中異常值所佔比例。

從學習任務的型別出發，可以從廣義上將損失函式分為兩大類——迴歸損失和分類損失。在分類任務中，我們要從類別值有限的資料集中預測輸出，比如給定一個手寫數字影象的大資料集，將其分為 0～9 中的一個。而回歸問題處理的則是連續值的預測問題，例如給定房屋面積、房間數量以及房間大小，預測房屋價格。

NOTE 
 n - Number of training examples.
 i - ith training example in a data set.
 y(i) - Ground truth label for ith training example.
 y_hat(i) - Prediction for ith training example.

迴歸損失

均方誤差/平方損失/L2 損失

數學公式：

均方誤差

顧名思義，均方誤差（MSE）度量的是預測值和實際觀測值間差的平方的均值。它只考慮誤差的平均大小，不考慮其方向。但由於經過平方，與真實值偏離較多的預測值會比偏離較少的預測值受到更為嚴重的懲罰。再加上 MSE 的數學特性很好，這使得計算梯度變得更容易。

import numpy as np
y_hat = np.array([0.000, 0.166, 0.333])
y_true = np.array([0.000, 0.254, 0.998])
def rmse(predictions, targets):
 differences = predictions - targets
 differences_squared = differences ** 2
 mean_of_differences_squared = differences_squared.mean()
 rmse_val = np.sqrt(mean_of_differences_squared)
 return rmse_val
print("d is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_hat]))
print("p is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_true]))
rmse_val = rmse(y_hat, y_true)
print("rms error is: " + str(rmse_val))

平均絕對誤差/L1 損失

數學公式：

平均絕對誤差

平均絕對誤差（MAE）度量的是預測值和實際觀測值之間絕對差之和的平均值。和 MSE 一樣，這種度量方法也是在不考慮方向的情況下衡量誤差大小。但和 MSE 的不同之處在於，MAE 需要像線性規劃這樣更復雜的工具來計算梯度。此外，MAE 對異常值更加穩健，因為它不使用平方。

import numpy as np
y_hat = np.array([0.000, 0.166, 0.333])
y_true = np.array([0.000, 0.254, 0.998])
print("d is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_hat]))
print("p is: " + str(["%.8f" % elem for elem in y_true]))
def mae(predictions, targets):
 differences = predictions - targets
 absolute_differences = np.absolute(differences)
 mean_absolute_differences = absolute_differences.mean()
 return mean_absolute_differences
mae_val = mae(y_hat, y_true)
print ("mae error is: " + str(mae_val))

平均偏差誤差（mean bias error）

與其它損失函式相比，這個函式在機器學習領域沒有那麼常見。它與 MAE 相似，唯一的區別是這個函式沒有用絕對值。用這個函式需要注意的一點是，正負誤差可以互相抵消。儘管在實際應用中沒那麼準確，但它可以確定模型存在正偏差還是負偏差。

數學公式：

平均偏差誤差

分類損失

Hinge Loss/多分類 SVM 損失

簡言之，在一定的安全間隔內（通常是 1），正確類別的分數應高於所有錯誤類別的分數之和。因此 hinge loss 常用於最大間隔分類（maximum-margin classification），最常用的是支援向量機。儘管不可微，但它是一個凸函式，因此可以輕而易舉地使用機器學習領域中常用的凸優化器。

數學公式：

SVM 損失（Hinge Loss）

思考下例，我們有三個訓練樣本，要預測三個類別（狗、貓和馬）。以下是我們通過演算法預測出來的每一類的值：

Hinge loss/多分類 SVM 損失

計算這 3 個訓練樣本的 hinge loss：

## 1st training example
max(0, (1.49) - (-0.39) + 1) + max(0, (4.21) - (-0.39) + 1)
max(0, 2.88) + max(0, 5.6)
2.88 + 5.6
8.48 (High loss as very wrong prediction)
## 2nd training example
max(0, (-4.61) - (3.28)+ 1) + max(0, (1.46) - (3.28)+ 1)
max(0, -6.89) + max(0, -0.82)
0 + 0
0 (Zero loss as correct prediction)
## 3rd training example
max(0, (1.03) - (-2.27)+ 1) + max(0, (-2.37) - (-2.27)+ 1)
max(0, 4.3) + max(0, 0.9)
4.3 + 0.9
5.2 (High loss as very wrong prediction)

交叉熵損失/負對數似然：

這是分類問題中最常見的設定。隨著預測概率偏離實際標籤，交叉熵損失會逐漸增加。

數學公式：

交叉熵損失

注意，當實際標籤為 1(y(i)=1) 時，函式的後半部分消失，而當實際標籤是為 0(y(i=0)) 時，函式的前半部分消失。簡言之，我們只是把對真實值類別的實際預測概率的對數相乘。還有重要的一點是，交叉熵損失會重重懲罰那些置信度高但是錯誤的預測值。

import numpy as np
predictions = np.array([[0.25,0.25,0.25,0.25],
 [0.01,0.01,0.01,0.96]])
targets = np.array([[0,0,0,1],
 [0,0,0,1]])
def cross_entropy(predictions, targets, epsilon=1e-10):
 predictions = np.clip(predictions, epsilon, 1. - epsilon)
 N = predictions.shape[0]
 ce_loss = -np.sum(np.sum(targets * np.log(predictions + 1e-5)))/N
 return ce_loss
cross_entropy_loss = cross_entropy(predictions, targets)
print ("Cross entropy loss is: " + str(cross_entropy_loss))