線性代數(1-1)
引入
在講線性方程組之前,我們先來講一個人:列昂惕夫 。當年他可是獲得了諾貝爾獎了。 我們先來看看大佬長啥樣的,喏,瞅下邊:
1949年的時候他好像待哈佛來著,用的是MarkⅡ計算機。這臺計算機是在1946年的時候研製成功的,雖然我不知道為什麼百科只收錄了Mark 1號,但它確實存在。…咳咳,扯遠了,列昂惕夫當時是把含500多個未知量的500多個方程的方程組提煉成只有42個未知量的42個方程組,然後丟到MarkⅡ上讓它算,經過兩天兩夜零8小時,MarkⅡ終於把結果給吐出來了。咳咳,準確的來說,是終於求出了一個解,你想想,42個未知量的要求那麼長時間,你要是500個未知量丟進去,那要算到猴年馬月,當然,事實是當時的計算機根本處理不了含500個未知量的方程,不然要是我就算1000個我也會丟進去,自己去喝喝茶,聽個小曲兒,日子活得也比整天窩稿紙上計算滋潤的多不是。
後面可能還會提到他,畢竟連他獲得諾貝爾經濟學獎的投入產出分析方法這裡都沒講呢,當然,我好像忘了說他是經濟學家了。
線性方程組
當然,線性方程組你也可以叫它線性模型,這都無所謂啦
線性方程
一個包含的線性方程具有如下形式:
線性方程組
一個線性方程組或者線性系統是n個線性方程的集合: 方程組的解便是一列使得該方程成立的數:。 方程組的解集便是所有解構成的集合。
如果兩個方程組的
解集相同
,我們稱這兩個方程組等價
接下來我們回到線性代數的核心內容:求解線性方程組
解線性方程組
我們先用兩個變數的方程組為例:
行影象
:
每個行影象顯示一個方程,這是大家熟悉的了,二元一次方程的行影象就是一條二維平面的直線,
三元一次方程的行影象就是一個三維平面。當然還有更高維度(多元一次),我們一般叫超平面。
上面那兩個方程肯定都是線性方程啦,在方程組的任意一個方程中和之間都是線性關係,所以影象必然是直線。
而這個方程組有兩個方程,所以方程組的解必須同時滿足兩條直線,即兩個方程解集便是該方程組的解集的交集
。
在二元問題上,兩條直線交集有如下三種情況
:
沒有交點:兩條直線平行且不重合 一個交點:兩條直線交叉 無窮個交點:兩條直線重合 即一個線性方程組的解會有如下三種狀況:
二元一次方程組如果只有一個解,那便是是直線的交點;而三元一次方程組如果只有一個解,那便是三個平面的交點。>
線上性代數中,如果方程組有解(包括唯一解和無窮解),稱為相容
; 無解,則稱為不相容
。
對於相容與不相容,我們可以從字面理解,方程組內的方程之間不相容,有矛盾,必然無解,反之,沒有矛盾,即相容,便有解
所以說,線性方程組的兩個基本問題也就出現了:
解的存在性
與唯一性
問題:
解方程
說了那麼多,我們還是該想想最基本的問題,怎麼得到方程的解。 當然了,前面寫成方程組的形式,大家可能就知道該怎麼解方程了,消元嘛: 至此,我們便求解出了方程組的解。當然了,這個方程組只有唯一解。
我們得總結一下,這個過程中,我們只做了一件事:
我們從(2)式開始替換,直到將其變成最簡形式,這個過程我們可以稱為
正向階段
,然後再用最簡的式子回代,直到(1)式最簡,然後我們便解出了方程,這個回代過程我們則稱為反向階段
。在後面我們還會提到,大家留個印象。
有點囉嗦了,上面這些都是大家初高中熟悉的了,接下來,我們引入矩陣表示:
矩陣記號
我們將方程組的主要學習記錄在矩陣中,如係數: 該方程組的係數矩陣: