剛被教練數落了一通，心情不好，來寫篇題解

Problem

bzoj2560

題目簡述：給定\(n\)個點的，每兩個點\(i,j\)之間有\(c_{i,j}\)條直接相連的路（其中只能選一條或不選），問共有多少種方案可以使得整張圖連通。\(n\leq 16\)

Solution

算是遇到的沒那麼套路的容斥題了 雖然還是有點套路

發現\(n\leq 16\)各種暗示我們要狀壓，於是按照以往狀壓的題的套路，設\(f(S)\)表示當\(S\)集合中的點連通方案數

發現不是很好直接計算，但總方案數又很好得出，於是考慮容斥，設\(g(S)\)表示集合\(S\)中的點之間隨意相連的方案數

根據定義可得

\[g(S)=\prod_{i,j\in S}(c_{i,j}+1)\]

想法用\(g\)去消掉\(f\)不滿足題意的方案數，聯想到城市規劃中的做法：限定\(1\)號節點的連通集合大小

類似的，這裡可以限定\(S\)中編號最小的點連通大小（當然編號最大的點也行）

列舉\(S\)中編號最小的點連通塊大小，可以得到（設\(H\)為集合\(S\)中去除最小元素的集合）：

\(f(S)=g(S)-\sum_{T\subseteq H}g(T)f(S-T)\)

題目之間類比關係好多啊，比如上一篇就是二項堆和AC自動機的類比

Code

#include <cstdio>
const int N=18,M=1<<N,p=1e9+7;
int g[M],f[M],bin[N];
int a[N][N],n;

inline int qm(int x){return x<p?x:x-p;}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<n;++j)
        scanf("%d",&a[i][j]);
    bin[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(int S=0,s;S<bin[n];++S){
        f[S]=1;
        for(int i=0;i<n;++i)if(bin[i]&S)
        for(int j=i+1;j<n;++j)if(bin[j]&S)
            f[S]=1ll*f[S]*(a[i][j]+1)%p;
        g[S]=f[S],s=(S-1)&S;
        for(int i=s;i;i=(i-1)&s)
            f[S]=qm((int)f[S]-1ll*g[i]*f[S^i]%p+p);
    }
    printf("%d\n",f[bin[n]-1]);
    return 0;
}