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題目背景

太原成成中學第2次模擬賽 第四道

題目描述

乘法遊戲是在一行牌上進行的。每一張牌包括了一個正整數。在每一個移動中，玩家拿出一張牌，得分是用它的數字乘以它左邊和右邊的數，所以不允許拿第1張和最後1張牌。最後一次移動後，這裡只剩下兩張牌。
    你的目標是使得分的和最小。
    例如，如果數是10 1 50 20 5，依次拿1、20、50，總分是                       10150+50205+10505=8000
    而拿50、20、1，總分是150

輸入格式

輸入檔案的第一行包括牌數(3<=n<=100)，第二行包括N個1-100的整數，用空格分開。

輸出格式

輸出檔案只有一個數字：最小得分

樣例資料

6
10 1 50 50 20 5

3650

一開始思考狀態的時候，發現無論是先迴圈第幾次取出的數還是先迴圈第幾個數都有後效性。後來發現——最後一次取出的數肯定是sq[1]*sq[k]*sq[n]。正難則反，倒著搜尋一下“倒數第k個數”就能水過了。
顯然是劃分區間的DP。假設k是最後一個數，那麼倒數第二個數要麼在(st, k)裡面，要麼在(k, ed)裡面。為什麼不是(k+1, ed)呢？
狀態轉移方程：
ret = min{ret, DFS(st, i) + DFS(i, ed) + sq[st] * sq[i] * sq[ed]}
遞迴的邊界是隻剩下兩張牌，此時值應為0（無牌可取）

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 105, SUP = 2e9;
int sq[N], n;
int d[N][N];
 
int DFS(int st, int ed)
{
	if(~d[st][ed])
		return d[st][ed];
	if(st+1 == ed)
		return 0;
	int ret = SUP;
	for(int i = st+1; i <= ed-1; i++)
		ret = min(ret, DFS(st, i) + DFS(i, ed) + sq[st] * sq[i] * sq[ed]);
	return d[st][ed] = ret;
}
 
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &sq[i]);
	memset(d, -1, sizeof(d));
	printf("%d\n", DFS(1, n));
	return 0;
}
 

分析：列舉區間 [L,R ]  裡那個數為最後留下來的數 那麼 這個問題就會 轉換成 [L,i] [i,R] 的問題。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
const int maxn = 200;
const int inf = 1e9;
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,a[maxn+5],L[maxn+5],R[maxn+5];
int d[maxn][maxn];
int dp(int l,int r)
{
    if(d[l][r]!=-1) return d[l][r];
    if(l+1==r) return d[l][r] = 0;
    int ans = inf;
    for(int i=l+1;i<r;i++)
    {
        ans = min(ans,dp(l,i)+dp(i,r)+a[i]*a[l]*a[r]);
    }
    return d[l][r] = ans;
}
void solve()// 遞迴寫法
{
    int ans = inf;
    memset(d,-1,sizeof(d));
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        ans = min(ans,dp(1,i)+dp(i,n)+a[i]*a[1]*a[n]);
    }
    printf("%d\n",ans);
}
void ok()// 遞推寫法
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    for(int L=3;L<=n;L++)
    {
        for(int l=1;l+L-1<=n;l++)
        {
            int r = l+L-1;
            d[l][r] = inf;
            for(int j=l+1;j<r;j++)
            {
                d[l][r] = min(d[l][r],d[l][j]+d[j][r]+a[j]*a[l]*a[r]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",d[1][n]);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        //solve();
        ok();
    }
    return 0;
}

大牛：

用dp(l,r)表示將 l 到 r 移動到只剩兩張卡片的最小分數
列舉區間內最後一張取出來的牌，則
dp(l,r)=min{dp(l,k)+dp(k,r)+al∗ak∗ar}
記憶化搜尋

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n;
int a[105],f[105][105];
int dp(int l,int r)
{
    if(l+1==r)return 0;
    if(f[l][r]<inf)return f[l][r];
    for(int k=l+1;k<=r-1;k++)
        f[l][r]=min(f[l][r],dp(l,k)+dp(k,r)+a[l]*a[k]*a[r]);
    return f[l][r];
}
int main()
{
    memset(f,127,sizeof(f));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d\n",dp(1,n));        
    return 0;    
}