BZOJ4036: [HAOI2015]按位或

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036

分析:

• 設\(f_{i,s}\)表示\(i\)次後數字是\(s\)的概率。
• 那麼答案就是\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times (f_{i,all}-f_{i-1,all})\)。
• \(=\infty -\sum\limits_{i=1}^{\infty}f_{i,all}\)。
• 考慮逐項計算\(f\)，可以發現每次計算是一個或卷積的形式。
• 即如果設\(g_{i,S}=\sum\limits_{T\subseteq S}f_{i,S}\)
  ，那麼\(g_{i,S}=(P_S)^i\)其中\(P_S=\sum\limits_{T\subseteq S}p_s\)。
• 於是上面的式子可以用\(g\)來改寫，這裡就懶得寫了。
• 求出\(g\)後，由於答案只需要\(all\)這一項， 這裡選擇用子集反演的方式直接求答案，能優化掉一個\(fwt\)。

程式碼:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1050000
typedef double f2;
int K,n,cnt[N];
f2 p[N];
void fwt(f2 *a,int len,int flg) {
    int i,j,k,t;
    for(k=2;k<=len;k<<=1)for(t=k>>1,i=0;i<len;i+=k)for(j=i;j<i+t;j++) {
        if(flg==1) a[j+t]+=a[j]; else a[j+t]-=a[j];
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&K);
    n=(1<<K)-1;
    int i,mk=0;
    for(i=0;i<=n;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1),scanf("%lf",&p[i]),p[i]>1e-6?(mk|=i):0;
    if(mk!=n) {puts("INF"); return 0;}
    fwt(p,n+1,1);
    f2 ans=0;
    for(i=0;i<n;i++) {
        if((K-cnt[i])&1) ans-=1/(1-p[i]);
        else ans+=1/(1-p[i]);
    }
    printf("%.8f\n",-ans);
}
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 2100000
#define mod 998244353
ll f[22][N],g[22][N],A[N],sum[N];
int ea[550],eb[550];
int n,m,p,w[22],CNT[N];
int head[22],to[550],nxt[550],cnt,Q[22],vis[22],du[22];
inline void add(int u,int v) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;
}
ll qp(ll x,ll y) {
    ll re=1; for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) re=re*x%mod;
    return re;
}
bool check(int s) {
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++) du[i]=head[i]=vis[i]=0; cnt=0;
    for(i=1;i<=m;i++) {
        if((s&(1<<(ea[i]-1))) && (s&(1<<(eb[i]-1))))
            add(ea[i],eb[i]),add(eb[i],ea[i]),du[ea[i]]++,du[eb[i]]++;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) if(du[i]&1) return 0;
    int l=0,r=0;
    for(i=1;i<=n;i++) if(s&(1<<(i-1))) {
        Q[r++]=i; vis[i]=1; break;
    }
    while(l<r) {
        int x=Q[l++];
        for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
            vis[to[i]]=1; Q[r++]=to[i];
        }
    }
    return r==CNT[s];
}
void fort(ll *a,int len,int flg) {
    int i,j,k,t;
    for(k=2;k<=len;k<<=1) for(t=k>>1,i=0;i<len;i+=k) for(j=i;j<i+t;j++) {
        if(flg==1) a[j+t]=(a[j+t]+a[j])%mod; else a[j+t]=(a[j+t]-a[j])%mod;
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&ea[i],&eb[i]);
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    int mask=(1<<n)-1;
    for(i=1;i<=mask;i++) {
        CNT[i]=CNT[i>>1]+(i&1);
        ll re=0;
        for(j=1;j<=n;j++) if(i&(1<<(j-1))) {
            re+=w[j];
        }
        g[CNT[i]][i]=qp(re,p); sum[i]=qp(g[CNT[i]][i],mod-2);
        if(check(i)) g[CNT[i]][i]=0;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) fort(g[i],1<<n,1);
    for(i=0;i<=mask;i++) f[0][i]=1;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        for(j=1;j<=i;j++) {
            for(k=0;k<=mask;k++) {
                A[k]=(A[k]+g[j][k]*f[i-j][k]);
            }
        }
        for(k=0;k<=mask;k++) A[k]%=mod;
        fort(A,1<<n,-1);
        for(k=0;k<=mask;k++) {
            f[i][k]=A[k]*sum[k]%mod; A[k]=0;
        }
        if(i<n) fort(f[i],1<<n,1);
    }
    printf("%lld\n",(f[n][mask]+mod)%mod);
}