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高等數學(4) 數列與數列極限

一、數列與數列極限

 

劉徽——割圓術

 

 

 

還可以表示為 xn= 1- 1/(2^n)

因為棒長是固定1 減去最後一天剩下的 也是擷取的總長

 

1-1/(2^n)無限趨近於1

 

數列的定義

 

·按自然數1,2,3,…編號依次排列的一列數 x1 x2 … xn … 稱為無窮數列 簡稱數列

·其中每個數稱為數列的項,xn稱為通項(一般項) 此數列可記為{xn}

 例如 2 4 8 …2^n… {2^n}

 

問題

·當n無限增大時 xn是否無限接近某一確定的數指

上面實驗 當n無限增大時 數列{1+ ( (-1)^(n-1) )/n

問題

·無限接近意味著什麼 如何用數學語言刻畫它

 

 

數列的極限

·如果對於任意給定的正數e(不論它多麼小)

·總存在正整數N,

·使得對於n>N時的一切xn

·不等式|xn-a|<e都成立,

那麼就稱常數a是數列xn的極限 或者稱數列xn收斂於a

記為lim n->∞ xn = a (或xn ->a(n->∞))

 

注意

·注1:如果數列沒有極限,就說數列是發散的(不收斂的

·注2:不等式|xn-a|<e 刻畫了xn與a無限接近

·注3:定義中正整數N與任意給定的正數e有關

 

數列極限的幾何解釋

 

將a表示出來 然後做a的鄰域

當n>N的時候,所有的點都會落入到橘黃色的開區間內 只有有限個(至多有N個 不大於大N的)落在其外

 

 

e-N語言

 

任意符號(把A倒置過來

存在符號(把E反轉過來

·數列極限定義並未給出求極限的方法

 

 

 

例題1:

例題2:

例題3:

 

 

數列的極限

·如果對於任意給定的正數 (不論它多麼小)

·總存在正整數N,

·使得對於n>N時的一切xn

·不等式|xn-a|<都成立,

那麼就稱常數a是數列xn的極限 或者稱數列xn收斂於a

記為lim n->∞ xn = a (或xn ->a(n->∞))

 

 

二、收斂數列的性質

 

收斂:有極限

發散:無極限

 

收斂數列的性質:

 

1.有界性

·對數列xn 若存在正數M

·使得一切自然數n 恆有|xn|<M成立

則稱數列xn有界,否則,稱為無界

 

 

有界

無界

 

定理一 收斂的數列必定有界

 

證明:

 

 由定義,取 

則 使得當n>N時 恆有|xn-a|<1 即有a-1<xn<a+1

記M= max{|x1|,…,|xn|,|a-1|,|a+1|}

則對一切自然數n,皆有|xn|<M,故{xn}有界

 

注:有界性是數列收斂的必要條件

 

 

 

2.唯一性

定理2 每個收斂的數列只有一個極限

 

3.保號性

如果

 

 且a>0(或a<0) 那麼存在正整數N>0 當n>N時

都有xn>0(或xn<0)

 

4.收斂數列與其子數列間的關係

 

如果數列收斂於a,則它的任一子數列也收斂 且極限也是a

 

4.收斂數列與其子數列間的關係

如果數列收斂於a,則它的任一子數列也收斂 且極限也是a