基本初等函式及其定義域

• 反函式:不是所有的函式在其定義域內都存在反函式,只有單調函式才存在反函式.
• 基本初等函式及定義域
  常值函式y=c,其定義域為(-∞,＋∞),值域為單點集{c}.
  冪函式y=x^u(u為常數),定義域隨著u的不同而不同,影象也隨著u的不同而有不同的形狀.
  指數函式y=a^x(a>0, a≠1),其定義域是(-∞,＋∞),值域為(0,＋∞),根據a的取值範圍不同,指數函式的單調性不同.
  對數函式y=㏒a^x(a>0,a≠1),它是指數函式的反函式,其定義域為(0,+∞),且單調性也隨著a的取值範圍不同而有所不同.
  三角函式y=sinx、y=cosx,其定義域為(-∞,＋∞)，值域為[-1,1].而y=tanx定義域為{x|x≠kπ+2/π，k∈Z};y=cotx的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z};它們的值域都是(-∞,＋∞)。此外三角函式還有y=secx、y=cscx,它們都是以2π為週期的周期函式。
  反三角函式
  是將三角函式的定義域限制在一定的範圍內，求得的三角函式的反函式。如反正弦函式y=arcsinx定義域為 [-1,1],值域為[-2/π，2/π];反餘弦函式y=arccosx的定義域為[-1,1]，值域[0，π];反正切函式y=arctanx的定義域的(-∞,＋∞),值域為[-2/π，2/π]；反餘切函式y=arccotx的定義域為(-∞,＋∞)，值域為（0，π）。

無窮小的性質

• 有限個無窮小的代數和仍為無窮小。
• 有限個無窮小之積仍為無窮小。
• 有界函式與無窮小之積為無窮小。
• 無窮小量除以有極限且極限不零的變數，其商仍為無窮小量。
• 常數中只有零可以看做無窮小。
• 常用等價無窮小代換有：
  當x->0時，x~ sinx ~ln(1+x) ~arcsinx ~ arctanx ~ e^x - 1 ~ tanx, 1 - cosx ~ 1/2x²,(1 + x)^a - 1 ~ ax(a為實常數，a≠0)

函式極限的幾種型別

1. 極限為0/0型時的計算
   （1）因式分解後消去零因子，此種方法多用於分子都為多項式的情況。
   （2）若待求極限的函式中含有形如a±√b或√a±√b的式子，可考慮有理化，以達到消去零因子的目的。
   （3）函式中含有正弦函式或隱含有正弦函式（即稍作變化可出現正弦函式）時，可考慮使用重要極限sinx/x = 1.
   （4）做等價無窮小代換。
2. 極限∞/∞型的計算
3. 極限為∞﹣∞型時的計算
   這類題型的解法一般有兩種選擇：1.先做同分，變為0/0型或∞/∞型。 2若函式含有根式、考慮根式有理化。
4. 極限為1∞型時計算
   無論自變數做怎樣的變化，只要極限為1∞型時，都可以考慮利用重要極限（1+1/x)^x = e,利用時關鍵在把底與指數用配項的辦法把函式化為公式的形式。
5. 極限為0*∞型時的計算
6. 無窮小與有界函式乘機極限的計算
   利用"無窮小與有界函式之積仍為無窮小"進行計算。
7. 分段函式在分段點處極限的計算
   注意所給函式在分段點兩側的表示式是否相同，若相同，則直接求極限，如果在分段點的兩側不同，則應該利用左極限和右極限來判定。