函式關係就是變數之間的依賴關係。

極限方法是研究變數的一種基本方法。

對映是現代數學中的一個基本概念，函式是對映的一種特例。

函式是微積分的研究物件。

這裡將要介紹對映與函式、數列的極限及其性質、函式的極限及其性質、無窮大與無窮小、極限運演算法則、極限存在準則與兩個重要極限、無窮小的比較、函式的連續性和間斷點、連續函式的運算與初等函式的連續性、閉區間上連續函式的性質。

1、對映與函式

• 對映的定義：這裡不再贅述
• 滿射、單射和一一對映（雙射）的定義，這裡也不再贅述。

對映在不同的數學分支中有不同的慣用名稱，從非空集X到數集Y的對映稱為X上的泛函，從非空集X到它自身的對映稱為X上的變換

，從實數集（或其子集）X到實數集Y的對映稱為定義在X上的函式。

• 逆對映和複合對映的定義，這裡不再贅述
• 函式的定義：這裡不再贅述

函式是從實數集（或其子集）到實數集的對映，其值域總在實數集內，因此構成函式的要素是：定義域和對應法則

函式的定義域有兩種情況來確定：使得實際問題有意義的自變數範圍和使得函式式本身有意義的自變數範圍

函式的三種表示方法：表格法、圖形法、解析法（公式法）

函式對應的座標平面上的點集稱為函式的圖形

函式的四種特性：有界性、單調性、奇偶性、週期性

通常我們所說的周期函式的週期指的都是最小正週期。並非每個周期函式都有最小正週期

• 反函式與複合函式（與逆對映和複合對映相對應）：定義不再贅述

直接函式（原函式）與反函式的圖形是關於y=x直線對稱的

注意複合對映和複合函式的順序性。為了滿足複合要求，有時需要對最內側的函式的定義域進行限制

函式的運算：和、差、積、商。需要注意使得運算式子成立的自變數的範圍是如何確定的

可以認為反函式和複合函式也是一種函式運算

• 基本初等函式：指數函式、對數函式、冪函式、三角函式、反三角函式

• 初等函式：由常數和基本初等函式經過有限次的四則運算和有限次的函式複合步驟所構成並可用一個式子表示的函式（其中不包括反函式運算步驟）

2、數列的極限及其性質

• 數列極限的定義：這裡不再贅述

定義中的正整數N是與任意給定的正數（E）有關，N隨著該正數的給定而選定

利用數列極限的定義來證明某個數是數列的極限時，重要的是對任意給定的正數（E），要能夠指出定義中所說的這種正整數N確實存在。

• 定理1：如果數列收斂，那麼它的極限唯一
• 定理2：如果數列收斂，那麼數列一定有界
• 定理3：保號性
• 定理4：收斂數列與其子數列間的關係

數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件

不收斂，就發散

3、函式的極限及其性質

在自變數的某個變化過程中，如果對應的函式值無限接近於某個確定的數，那麼這個確定的數就叫做在這一變化過程中函式的極限。這個極限與自變數的變化過程密切相關。

注意鄰域和去心鄰域的定義：都是開區間

• 自變數趨於有限值時函式的極限：

首先假設函式在該有限值的去心鄰域內是有定義的

由於自變數只是趨近於該值（並不相等，定義中就是這麼說的），所以函式在趨向於該值的時候是否有極限，與函式在該值處是否有定義並無關係

• 左極限和右極限：不再贅述

函式在自變數趨向某個值時極限存在的充分必要條件是左極限和右極限各自存在並且相等

• 自變數趨於無窮大時函式的極限：與數列的極限類似

• 定理1：如何函式極限存在，那麼這極限唯一

• 定理2：函式極限的區域性有界性
• 定理3：函式極限的區域性保號性
  
  • 定理3’：定理3的強化
  • 推論：
• 定理4：函式極限與數列極限的關係

4、無窮大與無窮小

• 無窮小的定義：不再贅述

零可以作為無窮小的唯一的常數

• 定理1：不再贅述

• 無窮大的定義：不再贅述

其實在自變數的某一變化過程中，趨於無窮大的函式的極限是不存在的，但是為了方便敘述函式這一性態，我們也說“函式的極限是無窮大”

• 定理2：不再贅述

5、極限運演算法則

極限的四則運演算法則和複合函式的極限運演算法則

• 定理1：兩個無窮小的和是無窮小（有限個無窮小的和也是無窮小）
• 定理2：有界函式與無窮小的乘積是無窮小
  
  • 推論1：常數與無窮小的乘積是無窮小
  • 推論2：有限個無窮小的乘積是無窮小
• 定理3：不再贅述
  
  • 推論1：不再贅述
  • 推論2：不再贅述
• 定理4：與定理2類似，只是其應用於數列
• 定理5：不再贅述

求有理整函式（多項式）或有理分式函式當自變數趨向於某個值時的極限時，只要用該值代替函式式中的自變數即可（對於有理分式函式，需假定這樣代入後分母不等於零）

對於上面說到的例外情況，因為自變數趨於該值卻不等於該值，所以可以約去在自變數趨向過程中的不為零的公因子（前提是存在這個公因子）

有理分式函式在自變數趨向於無窮大的時候，有一個求極限的通式

• 定理6：徹底理解該定理

6、極限存在準則及兩個重要極限

• 準則I：應用於數列
• 準則I’：應用於函式

準則I和準則I’都稱為夾逼準則

• 準則II：單調有界數列必有極限 這是充分條件 應用於數列

收斂的數列一定有界，有界的數列不一定收斂。數列有界且單調肯定收斂

這裡所說的單調數列是廣義的（包括相等情形），與函式不同

• 準則II’：應用於函式的

• 柯西極限存在準則（柯西審斂原理）：充分必要條件 應用於數列

7、無窮小的比較

兩個無窮小的和、差及乘積仍舊是無窮小。但是，關於兩個無窮小的商，卻會出現不同的情況

兩個無窮小之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨於零的“快慢”程度

• 定義：不再贅述

• 定理1：不再贅述

• 定理2：不再贅述，應用該定理的時候，必須是同一自變數變化範圍

8、函式的連續性與間斷點

• 函式連續性的定義：不再贅述

搞清楚極限和連續之間的關係

• 左連續和右連續：不再贅述

有理整函式在實數區間上是連續的，有理分式函式在其定義域內的每一點都是連續的

• 函式間斷點的定義：滿足三個條件之一即可

• 間斷點的分類：如果x0是函式的間斷點，但x0處的左極限和右極限都存在，這種間斷點稱為函式的第一類間斷點。除此之外都是第二類間斷點。

第一類間斷點中左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點。無窮間斷點和振盪間斷點是第二類間斷點。

9、連續函式的運算與初等函式的連續性

連續函式的和、差、積、商的連續性。注意商的定義域

反函式的連續性

• 定理3：滿足該定理，可以交換極限符號

• 定理4：複合函式的連續性

基本初等函式在它們的定義域內都是連續的

一切初等函式在其定義區間內都是連續的。所謂定義區間，就是包含在定義域內的區間

如果已知某函式在某點連續，那麼求函式在該點處的極限時，只需要求函式在該點處的函式值即可

如果某函式是初等函式，且某點在其定義區間內，那麼函式在該點處的極限值為該點處的函式值

關於冪指函式極限的求法

10、閉區間上連續函式的性質

函式在閉區間上連續的定義

• 定理1（有界性與最大值最小值定理）：在閉區間上連續的函式在該區間上有界且一定能取得它的最大值和最小值

• 定理2（零點定理）：不再贅述

• 定理3（介值定理）：不再贅述

  • 推論：不再贅述

連續性和一致連續性的區別

如果函式在某個區間上一致連續，那麼該函式在該區間上也是連續的，反之不一定成立

• 定理4（一致連續性定理）：如果函式在閉區間上連續，那麼它在該區間上一致連續。