多元正態分佈

多元正態分佈的密度函式如下 ：

fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) (1)
其對應的矩母函式（也有稱動差函式）為exp(μTt+12tTΣt)。事實上，如果隨機向量[X1,...Xn]滿足上面的動差函式，那麼我們就稱隨機向量[X1,...Xn]服從多元高斯分佈。具體地證明可以看這裡。

多元正態分佈的條件密度

令隨機向量[X1,...Xn]服從多元高斯分佈。我們可以推導Xn在給定X1,...Xn−1的情況下的條件密度分佈：

f(xn|x1,...,xn−1)=f(x1,...,xn−1,xn)f(x1,..

.,xn−1) (2)，
其中f(x1,...,xn)=(2π)−n/2(|Σ|−1/2)exp[−12∑ni,j=1yiqijyj] (3)
其中Q=Σ−1=[qij],yi=xi−μi。同樣地，
f(x1,...,xn−1)=∫∞∞f(x1,...,xn−1,xn)dxn=B(y1,...,yn−1) (4).
現在我們將公式(3)中的求和項進行分解，有：
∑ni,j=1yiqijyj=∑n−1i,j=1yi

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