高等數學筆記第三天
導函式的形式:
推導:
例題: 求: ,在 h-> 0 時的導數;
左極限,左導數等價; 右極限,右導數等價;
對於間斷點處,必須用定義證明其導數。
例題: 求: 在x=1處的可導性。
二項展開式:
排列組合計法:
排列組合法的理解:
導函式的定義式:
y', f'(x) 或 dy/dx;
常見導函式公式:
1. (a^x)' = a^x * ln a; (logˇa x)' = 1/x* ln a ;
2.sinx ' = cosx , cosx ' = -sinx , tanx ' = sec^2 x , 注: 餘割:csc x = 1/ sinx ; 正割: sec x = 1/ cos x; 餘切:cot x = 1/tanx;
3.sec x ' = tanx * sec x ; csc x ' = - csc x*cot x; cot x ' = - csc^2 x ;
導數的幾何意義:
法線方程: y - f(xˇ0) = - 1/f'(xˇ0) *(x-xˇ0);
切線方程: y- f(xˇ0) = f'(xˇ0)* (x-xˇ0);
可導,連續,極限三者間的關係:
函式在一點可導,則函式在該點 一定 連續;
函式在一點連續,函式在該點不一定可導。 (如: y = |x|;)
可導 -----> 連續-----> 有極限; 連續 ----\---> 可導; 無極限 ----> 不連續 ----> 不可導;
函式的求導法則:
*四則運算:
1.(x +- y +- z )' = x' +- y' +- z'
2. (x*y*z)' = x'yz + xy'z + xyz'
3.(x/y)' = ( x'y -xy' ) / y
*反函式的求導法則:
1.關於 y=x 對稱 的兩直線 斜率關係: kˇ2 = 1/kˇ1; ,即 f'(x) = 1/f'(y) ;
例子: y = arc sin x; y = arc tan x; (注意,函式的複合關係運算式: sin( arc sin x )) = x );
常見的三角函式的反函式求導結果:
1.弦類:
2.切類:
3.割類:待定...
*複合函式求導法則:
, 鏈式法則;
關鍵點: 1.弄清複合層次;
2.從外向內相乘;
3.不漏掉任何一層;
*抽象函式求導法則:
1.注意: [f(sinx)] ' =/= f'(sinx), 它們選定的引數不同, 前者是以 x, 而後者 的sinx 相當於 x。變為了一個形參。
2.注意: 抽象函式的求導,可近似看成簡單函式求導。
*高階倒數的求導法則:
高階導的物理意義: 一階導: 速度; 二階導: 加速度;
常見函式的高階導公式:
1.多項式的高階導: y= a0 * x^n + a1* x^(n-1) +....+ an* x^0 ;
若n在定義的 項 數 區間內:
若n 不在 定義的 項數 區間內:
2.指數的高階導:
3.正弦函式的高階導:
4.複合函式的高階導(2階): y = f( ln x)
,注意 : 對 複合一階導 求 導的情況:(y')' = [ f'(ln x) ]' = f''(lnx)*1/x, 之所以會這樣,是因為求導的時候,參照的是因變數,此時的因變數為: x。
5.乘積的高階導:
隱函式:
定義:由二元方程確定的式子。
屬性:
任意一個顯函式都可以轉化為隱函式;
隱函式 不一定 都能 轉化為 顯函式;
*隱函式的求導法則:
將式子中的 y 看成 y(x)求導,即 y' = y' ; eg: ( ln y )' = y'/y; (理解: 顯示函式中,有: x' = 1)。
1.取對數法; 2: 取指數法; (說明,主要是針對 冪 指 函式);
*由引數方程確定的曲線求導法則:
由鏈式法則,和 反函式求導法則,可推匯出:
二階的情況(全域性都是以 t 作為因變數):
三階的情況(全域性都是以 t 作為因變數):
微分:
定義: y = f(x), ∆y = f(x + ∆x) - f(x), 可表示成: ∆y = A ∆x + O(∆x).其中A 為 不依賴於 ∆x 的常數。
此時,稱: 函式 y = f(x) 在 點x 可微。
而 A∆x 叫做 y = f(x) 的微分,記住: dy;
可微與 可導的關係:
可微 《===》 可導, 且: dy = f'(x) * ∆x ;
dy = f'(x)dx , f'(x) = dy/dx,導數實質就是微分之商。
微分的幾何意義:
切線的縱座標增量的變動情況;
當 ∆x --> 0時,∆x ~= dy, 則 f(x) ~= f(x0) + f'(x0)(x-x0)。 它的意義是,將曲線上的點代入直線研究其性質。
微分的運演算法則:
1.四則運算同導數;
2.複合函式的不變性:
dy = df[g(x)] = f'[g(x)]*dg(x) = f'[g(x)]*g'(x)*d(x), 可見,它是從 外層 至 內層依次求微分,直至求到 dx。
3.隱函式運演算法則:
複合函式的中間不變性。 即 x 與 y 的地位平等,不需將 y 看成 x 的函式;
4.湊微分法則:
待定;
5.函式值的近似運算公式: f(x) ~= f(x0) + f'(x0)(x - x0);
eg: f(x) ~= f(0) + f'(0)x; 注意,這裡的函式值,是任意值。
微分中值定理:
1.費馬定理: 若f(x) 在x=x0處可導,且為極值點, 則其導數: f'(x0) = 0;
2.羅爾定理:
y = f(x) 在 [a,b]連續,在(a,b)可導,稱: f(x)在[a,b]平滑;
當f(a) = f(b) 即函式等高時,則
在(a,b)內,至少存在一點: ξ,使得 f ' (ξ) = 0;
駐點: 可導函式的每兩個零點之間,存在的一個導數為零的點;
拐點:一階導數的每兩個零點之間 ,存在的一個二階導數為零的點;
零點定理的前提: 函式必須連續;
使用場景:
1.題目中出現: f'( ξ)時候,可考慮。
2.證明方程的零點存在。(方法有: 零點定理; 羅爾定理,其關鍵是找 輔助函式;)
拉格朗日中值定理:
定義: 若 y = f(x) 滿足:(1)在[a,b]上連續; (2):在(a,b)內可導;
則至少存在一點 ξ ∈(a,b),使 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b -a ),即
[ f(b) - f(a) ] /( b - a ) = f'(ξ): 其解釋為:存在一點ξ,使得 a,b 兩點割線斜率 = 點ξ 的 切線斜率;
有限增量公式: ∆y = f ' (x + θ*∆x) * ∆x ,(0<θ<1) , ( 函式值的近似計算公式:∆y ~= f'(x0) * ∆x)
定理:
在一個區間上導數恆等的兩個函式只相差一個常數;
應用例題:
(1)不等式證明:|f'(x)| ≤ M => |f(x) - f(y)| ≤ M|x-y|
(2)證明恆等式 為常值函式;
柯西中值定理:
定義: 設函式 f(x) 和 F(x)在 [a,b]連續,在(a,b)可導,則有:[ F(b) - F(a)] *f ' (ξ) = [f(b) - f(a) ]* F ' (ξ)。
且F '(x) ≠0時,存在 ξ∈(a,b),St