高等數學筆記第七天
隱函式求導方法:
方法一:
將y看成關於x的函式,即 (1/y)'=y'/2y
方法二:
eg: xy + lnx + lny = 0; 令F(x,y) = xy + lnx+ lny
隱函式存在定理1
其條件:1.具有連續偏導數; 2.F(x0,y0) =0,即存在零點; 3.Fy(x0,y0)=/=0,即隱函式的偏導不為零
二元隱函式微分法:
隱函式存在定理2:
,
注意,求偏導時,相互獨立,互不影響。
解方程組時,可以運用行列式求解。
雅可比行列式(隱函式存在定理3):
假設有: F=f(u,v), u= f(x,y) , v = f(x,y) 以及 G = f(u,v), u = f(x,y) ,v = f(x,y)
雅可比行列式(係數行列式):
則有: , ,注意,它們不是對稱關係!!!
方向導數:
前提: 1.可微 ; 2.二元函式及以上;
記法:
計演算法則:
推廣:(三元)
其中,cosα,cosβ,cosγ 稱為: 方向餘弦; cosα = x/ ||
eg: 求 u = x^2*y*z 在點p(1,1,1) 沿方向(2,-1,3) 的方向導數
梯度:
grad f(x,y) = (fx,fy)向量;
方向導數是一個數,梯度,是一個向量;
方向導數 = 梯度 與 方向L的單位向量 的數量積;
= 梯度 的模長 * 1 * cos <梯度,方向L>
多元函式的極值及求法:
多元函式的極值的必要條件:
fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0) =0,即 有駐點
注意: 極值點 --->駐點 駐點 --/->極值點
多元函式有極值的充分條件:
函式具有一階以及二階 連續偏導,令fxx(x0,y0) = A ,fyy(x0,y0)=C,令 fxy(x0,y0) = B
1.當 AC-B^2 >0時,有極值,若 A<0,為極大值,若A>0,為極小值
2.當AC-B^2 < 0時,無極值;
3.當AC-B^2 = 0時,可能有極值,也可能沒有極值;(注意,若二階偏導含有xy,將駐點值代入即可)
極值點可能是駐點,也可能是不可導點(常見的比如: 分母為零等限制);
最值可能在極值點,也可能在定義域邊界上存在。
二元函式的最值同理; 要麼將駐點值代入比對; 要麼將定義域邊界代入比對;
條件極值:
拉格朗日乘數法:
1.構造一個新函式 L(x,y) = f(x,y) + λφ(x,y), 其中,λ稱為拉格朗日乘子; φ(x,y)稱為條件函式; f(x,y)稱為目標函式
2.求駐點;
3.構造方程組: 各自的偏導=0,以及 φ(x)=0;
eg: u = xyz, φ(x)=1/x+ 1/y + 1/z - 1/a;
構造方程組: ,
思路: 對程式; ---> 求 xyz----> 回代 ---> 求x,y,z;
二重積分:
物理意義:
曲頂柱體的體積: V = ,其中, λ=1/n
記作:
其中, D叫做積分割槽域;
dσ叫做 面積元素;
f(x,y)叫做 被積函式;
x,y叫做 積分變數;
性質:
1.線性性: 即 滿足數乘分配律;
2.積分割槽域的可加性
3.若 f(x,y) = 1 , 則
4.保不等式性: 若 f(x,y) <= g(x,y) ,則有:
另:
5.積分估值: 若 f 在區域D中,有m<= f(x,y) <= M, 則有:
6.二重積分中值定理:
注:定積分的中值定理:
二重積分的計算:
1.利用直交座標計算D的面積: 分為x型面積; y型面積;
其中,x型面積:
y型面積:
x型面積時,y的上下界只能用線段表示,而不能用點表示;
同理,y型面積時,x的上下界只能用線段方程表示,而不能用點 表示;
通常在計算時,可以將xy分開,因為針對特定的積分變數,其餘變數都視作常數。
eg:
在選取x型與 y 型區域時候,利用好技巧則會簡化很多:
eg: , D是直線y=x,y=0,x=π,所圍成的閉區域; (看成什麼型,就對什麼後積分)
若先對y積分,再對x積分就很簡單; (這是一個偶然性,但是從出題者角度來說則是必然性。)
若先對x積分,再對y積分就很複雜;
交換積分順序的技巧:
1.畫出積分割槽域D;
2.將要轉換的順序按照 直角座標系 法則進行轉換
eg: I =
2.利用極座標系計算二重積分:
公式:
注意,在極座標系中,只有θ型區域;
當,f(r*cosθ, r*sinθ) = 1時,有:
eg: 計算:
注意,直交座標系與 極座標系的轉化 需要靠 D的區域作為橋樑;一般情況下,圓形等特殊圖形才可進行轉化;
鑑於θ極座標系中,只有θ型,而此時 ,r 的範圍: 注意,本質上仍是用關於θ的表示式表示,但是大多數情況下其表現出來的則是兩個單獨的點。 (這是由於圓錐曲線的特殊性等決定的。)
3.二重積分換元法(用於輔助):
其中: J(u,v) 為雅可比行列式: J(u,v) = ,此時x,y充當的中間函式,u,v充當的最終變數
前提: 1.x(u,v),y(u,v) 在D' 上具有一階 連續偏導數
2.J(u,v) =/=0
3.變換 D' -> D 是 一對一的;
計算原則與步驟:
1.畫出積分域;
2.選擇座標系;
3.確定積分序;
4.寫出積分限(根據圖示法, 或者 不等式)
5.計算要簡便(充分利用對稱性,充分利用圖形(即選取座標系,選取區域形狀方面))