高等數學筆記第二天
基本初等函式--->初等函式: 有限次四則運算;
極限存在法則一:夾逼準則:
eg:對於無窮項四則運算,lim 1/(n^2+1) + 2/(n^2+2) + ....+ n/(n^2+n)
極限存在法則二:單調有界定理:
eg:知道首項和關係項 的 遞迴數列。
x1 =10, x n+1=
其解決步驟:
1.求單調性(根式有理化), 關鍵:
2.證有界;
3.對關係式求極限;
關於無窮小量的重要極限1:
推論:
常見的幾個實現:
關於無窮小量的重要極限2(冪指函式的無窮大量):
<---->
推論:
無窮小量的比較:
1.高階無窮小: ,稱為: 阿爾法 是 碑拓 的高階無窮小,反之。 記作: 阿爾法= O(碑拓)
2.低階無窮小:同上類比。
3.同階無窮小: ,C為常數。 稱為: 阿爾法 是 碑拓 的 同階無窮小。
4.K階無窮小: ,C為常數,稱為: 阿爾法 是 碑拓 的 K階無窮小。
5.等價無窮小: ,稱為: 阿爾法 是 碑拓 的等價無窮小。 記作: 阿爾法 ~ 碑拓。
無窮小量的運算:
低階無窮小 + 高階無窮小 = 低階無窮小。 即:
等價無窮小的性質:
1.自反性; 2.對稱性; 3.傳遞性;
等價無窮小定理一:
若,α ~ β,則 α - β =O(α) 或 O(β)
等價無窮小定理二:
若,α ~ β,則 lim f(x)*α = lim f(x)*β
推論: α ~ α1, β~ β1 ,則 lim f(x)*α / lim f(x)*β = lim f(x)*α1 / lim f(x)*β1 。
常用的等價無窮小:
1.sinx ~ x;
2. arc sinx ~ x;
3.tan x ~ x;
4.arc tan x ~ x;
5. 1- cosx ~ x^2/2;
6.ln(1+x) ~ x;
7.e^x -1 ~ x;
8.(1+x)^(1/n) -1 ~ x/n;
9.(1+x)^(1/2) -1 ~ x/2;
函式連續的定義:
定義一: : 前提: 1.x0 處函式有定義; 2.x0 處 有極限; 3.極限與函式值相等。
定義二: ∀ε>0,∃δ>0,當 |x - x0| <δ時,有:|f(x) - f(x0)|<ε。
函式的左連續:
函式的右連續:
分段函式的連續性: 除了要考慮分段點外,還要考慮分段點處的連續性。
函式的第一類間斷點:
1.極限存在(無定義,或 有定義但函式值與極限不相同),稱為 :可去間斷點;
2.極限不存在,但左右極限存在,稱為:跳躍間斷點。(注意,此時,左右極限必須不相同。)
函式的第二類間斷點:
1.至少有一側 是 以 無窮為 極限 的點,稱為: 無窮間斷點。
2.不斷震盪的極限情況; 稱為震盪間斷點。
如: 函式
其在點x=0處沒有定義,且當x趨於0時,函式值在-1,1這兩個數之間交替振盪取值,極限不存在。
函式的連續性質:
1.連續函式的四則運算:若 f(x),g(x)在 x0連續,則,f(x)+-g(x), f(x)*g(x) , f(x)/g(x) 連續。
推論:兩個連續函式的 和,差,積,商(分母不為零)仍然連續。 如: tanx = sinx/cosx
2.反函式的連續性:
若f(x)在定義域內單調且連續,則x=f ^(-1)(y) 在定義域內單調且連續。
3.複合函式的連續性: 設 u = g(x)
1.若 lim g(x) = u0,(x->0); limf(u) =f(u0),(u->u0); 則 lim f[g(x)] = f(u0),(x->0);
說明: 複合函式,內極限,外連續,則極限運算與 連續函式運算順序可交換。
2.若u=g(x) 在 x0處連續,且 y= f(u) 在 u0 = g(x0)連續,則y = f[g(x)] 在x0處連續;
說明: 複合函式,內連續,外連續,則總體任然是連續函式。
4.基本初等函式:
基本初等函式在定義域內連續。
5.一切初等函式,在其定義區間上連續。
可利用該性質求極限:
1.若為連續函式,代入函式即可。
2.外函式連續,則對內函式求極限,再代入。
6.冪指函式的連續性: (g(x))^(f(x))
1.確定型:
x-x0時,f(x) ->b , g(x) -> a,則: lim( (g(x))^(g(x)) )= a^b;
2.未定型:
1. 1^ ∞ 型別,如: lim(1+2x)^(3/sinx),x->0;
2.∞^0型別。
3.0^0型別。
它們的處理方法: 變換為: lim e^ ( f(x)*ln g(x) )處理。 主要的思路是,將冪指函式化簡為基本函式,原因是:利用指數,將一個指數轉換為對數,然後對數 與 冪數 狼狽為奸。。
例題: lim (cosx) ^(1/ln(1+ x^2)), x-> x0;
最值定理:
f(x)在[a,b]上連續,則函式有界,取到最值。
零點定理:
f(x) 在 [a,b]上連續,且 f(a) 與 f(b) 異號,則 至少 存在一點 ξ,使得 f(ξ) = 0;
介值定理:
f(x) 在 [a,b]上連續,且M 和 m 分別是 f(x) 在[a,b]上的最值,則對任意的C 介於 [m,M]之間,在(a,b)至少存在一點 ξ,
使得, f(ξ) = C。
舉例: f(x) 在[0,1]連續,對[0,1] 任一點x 有, 0<= f(x) <= 1,證 [0,1] 中必然存在一點c,使得 f(c) = C;