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1.思想 

顯著性檢驗通常可以告訴我們一個觀測值是否是有效的，例如檢測兩組樣本均值差異的假設檢驗可以告訴我們這兩組樣本的均值是否相等（或者那個均值更大）。

我們在實驗中經常會因為各種問題（時間、經費、人力、物力）得到一些小樣本結果，如果我們想知道這些小樣本結果的總體是什麼樣子的，就需要用到置換檢驗。

Permutation test 置換檢驗是Fisher於20世紀30年代提出的一種基於大量計算（computationally intensive），利用樣本資料的全（或隨機）排列

關鍵詞：小樣本、顯著性檢驗、統計量

我們一般平時較為常用的檢驗要屬有參檢驗，但是其要求樣本必須滿足近似正態，無離群點，資料量大等要求；而有些時候其實很難都滿足以上前提條件，則這時需要使用無參檢驗，其只關注資料的秩，但是無參檢驗有時也無法處理一些樣本數較少的情況，這時則可以使用置換檢驗。

2.例子

下面通過一個簡單例子來介紹Permutation test的思想。

假設我們設計了一個實驗來驗證加入某種生長素後擬南芥的側根數量會明顯增加。A組是加入某種生長素後，擬南芥的側根數量；B是不加生長素時，擬南芥的側根數量（均為假定值）。

A組側根數量（共12個數據）：24 43 58 67 61 44 67 49 59 52 62 50

B組側根數量（共16個數據）：42 43 65 26 33 41 19 54 42 20 17 60 37 42 55 28

我們來用假設檢驗的方法來判斷生長素是否起作用。我們的零假設為：加入的生長素不會促進擬南芥的根系發育。在這個檢驗中，若零假設成立，那麼A組資料的分佈和B組資料的分佈是一樣的，也就是服從同個分佈。

接下來構造檢驗統計量——A組側根數目的均值同B組側根數目的均值之差。

statistic:= mean(Xa)-mean(Xb)

對於觀測值有 Sobs:=mean(Xa)-mean(Xb)=(24+43+58+67+61+44+67+49+59+52+62+50)/12-(42+43+65+26+33+41+19+54+42+20+17+60+37+42+55+28)/16=14

我們可以通過Sobs在置換分佈（permutation distribution）中的位置來得到它的P-value。

Permutation test的具體步驟是：

1.將A、B兩組資料合併到一個集合中，從中挑選出12個作為A組的資料（X'a），剩下的作為B組的資料（X'b）。

Gourp:=24 43 58 67 61 44 67 49 59 52 62 50 42 43 65 26 33 41 19 54 42 20 17 60 37 42 55 28

挑選出 X'a:=43 17 44 62 60 26 28 61 50 43 33 19

X'b:=55 41 42 65 59 24 54 52 42 49 37 67 67 20 42 58

2.計算並記錄第一步中A組同B組的均值之差。Sper:=mean(X'a)-mean(X'b)= -7.875

3.對前兩步重複999次（重複次數越多，得到的背景分佈越”穩定“）

這樣我們得到有999個置換排列求得的999個Sper結果，這999個Sper結果能代表擬南芥小樣本實驗的抽樣總體情況。

如上圖所示，我們的觀測值 Sobs=14 在抽樣總體右尾附近，說明在零假設條件下這個數值是很少出現的。在permutation得到的抽樣總體中大於14的數值有9個，所以估計的P-value是9/999=0.01

最後還可以進一步精確P-value結果（做一個抽樣總體校正），在抽樣總體中加入一個遠大於觀測值 Sobs=14的樣本，最終的P-value=(9+1)/(999+1)=0.01。（為什麼這樣做是一個校正呢？自己思考:)）

結果表明我們的原假設不成立，加入生長素起到了促使擬南芥的根系發育的作用。

//也就是說，通過抽樣，機率很小的事件發生了，是個事實，那麼也就是小概率事件發生了，那麼就可以推翻原假設。

3.大數、中心極限定理 

大數定理：

當樣本量足夠多時，樣本發生的頻率近似於概率。

中心極限定理：　　

中心極限定理以嚴格的數學形式闡明瞭在大樣本條件下，不論總體的分佈如何，樣本的均值總是近似地服從正態分佈。

如果一個隨機變數能夠分解為獨立同分布的隨機變數序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決。總之，恰當地使用中心極限定理解決實際問題有著極其重要意義。

 //我好像第一次這麼明白中心極限定理是什麼。