P3232 [HNOI2013]遊走

題目描述

一個無向連通圖，頂點從\(1\)編號到\(N\)，邊從\(1\)編號到\(M\)。 小Z在該圖上進行隨機遊走，初始時小Z在1號頂點，每一步小Z以相等的概率隨機選 擇當前頂點的某條邊，沿著這條邊走到下一個頂點，獲得等於這條邊的編號的分數。當小Z 到達\(N\)號頂點時遊走結束，總分為所有獲得的分數之和。 現在，請你對這M條邊進行編號，使得小Z獲得的總分的期望值最小。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行是正整數\(N\)和\(M\)，分別表示該圖的頂點數和邊數，接下來\(M\)行每行是整數\(u,v(1\le u,v\le N)\)，表示頂點\(u\)與頂點\(v\)

輸入保證\(30\%\)的數據滿足\(N\le 10\)，\(100\%\)的數據滿足\(2\le N\le 500\)且是一個無向簡單連通圖。

輸出格式：

僅包含一個實數，表示最小的期望值，保留3位小數。

\(f_i\)代表\(i\)這個點的期望經過次數，\(d_i\)表示度數
\[ f_v=\sum \frac{f_u}{d_u} \]
1號點的方程常數加1，代表它原來就有1的次數，n號點不被轉移走

然後求每條邊的期望經過次數
\[ E_{u,v}=\frac{f_u}{d_u}+\frac{f_v}{d_v} \]
然後對邊的期望次數排序，貪心匹配即可。

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
const int N=520;
int head[N],to[N*N],Next[N*N],cnt;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
int n,m,eu[N*N],ev[N*N],in[N];
double a[N][N],ct[N*N];
void Gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int id=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[id][i])) id=j;
        std::swap(a[id],a[i]);
        for(int j=n+1;j>=i;j--) a[i][j]/=a[i][i];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            for(int k=n+1;k>=i;k--)
                a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];
    }
    for(int i=n;i;i--)
        for(int j=i-1;j;j--)
            a[j][n+1]-=a[i][n+1]*a[j][i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int u,v,i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v),add(v,u);
        ++in[u],++in[v];
        eu[i]=u,ev[i]=v;
    }
    a[1][n+1]=1;
    for(int u=1;u<=n;u++)
    {
        a[u][u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=Next[i])
            if(to[i]!=n)
                a[u][to[i]]=-1.0/in[to[i]];
    }
    Gauss();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(eu[i]!=n) ct[i]=a[eu[i]][n+1]/in[eu[i]];
        if(ev[i]!=n) ct[i]+=a[ev[i]][n+1]/in[ev[i]];
    }
    std::sort(ct+1,ct+1+m);
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=ct[i]*(m+1-i);
    printf("%.3f\n",ans);
    return 0;
}
 

2019.1.12

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