大佬太強了
五邊形數定理的實質就是
尤拉函式 $\Phi$（C++應該對希臘字母也有大小寫區分吧）
$\mathrm{\Phi }\left(x\right)$

= ∏ i = 1 ∞ ( 1 − x i ) \Phi(x) = \prod_{i=1}^{ \infty } (1-x^i)
然後通過這個函式的意義：包含偶數個不相等的整數的k的整數拆分-包含奇數個不相等的k的整數拆分。
然後用數形結合發現只有和形如（廣義）五邊形數（ $\frac{n}{}$

( 3 n − 1 ) 2 , n ∈   Z \frac {n(3n-1)}2,n \in \ \Z ）的k會有值。
然後因為 $n$以內廣義五邊形數是 $O(\sqrt n)$的數量級的。
所以可以在 $O(\sqrt n)$的複雜度內算出 $\Phi \pmod x^n$
對於可相同整數拆分 $P(n)$，生成函式是
$F(x) = \sum_{i=1}P(i)x^i = \prod_{i=1}^{\infty}(1+x^i+x^{2i}+...)=\prod_{i=1}^n\frac 1{1-x^i}$
所以
$F(x)\Phi (x) = 1$
發現 $\Phi(x)$只有 $O(\sqrt n)$項，可以 $O(n\sqrt n)$遞推解 $F(x)[x^n]$
當然你也可以多項式求逆（我怎麼不覺得這個多項式求逆會快一些呢？如果你遞推時迴圈展開應該可以D爆多項式求逆吧）。
可以多組資料。
所以五邊形數其實就是人們想求 $\frac 1{F(x)}$時發現這玩意就是五邊形數。