組合數學各類公式及應用總結
卡特蘭數
應用
- 矩陣連乘: P=a1×a2×a3×……×an,依據乘法結合律,不改變其順序,只用括號表示成對的乘積,試問有幾種括號化的方案?
- 一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,…,n,有多少個不同的出棧序列?
- 在一個凸多邊形中,通過若干條互不相交的對角線,把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n,求不同劃分的方案數
- 給定N個節點,能構成多少種不同的二叉搜尋樹?
- 給定n對括號,求括號正確配對的字串數
遞推式:
-
前幾項:
1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796
第一類Stirling數
應用
- 將n個物體排成k個非空迴圈排列(非空的)的方法數
遞推式:
前幾項:
第二類Stirling數
**應用**
- n個元素劃分成k個無序集合的方案數
遞推式:
前幾項:
貝爾數
應用
- 包含n個元素的集合的劃分方法的數目。
遞推式:
,其中為第二類Stirling數
前幾項:
1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877,4140, 21147, 115975
那羅延數
應用
- 在由n對”(“和”)”組成的字串中,共有k對”(“與”)”相鄰,這樣的字串一共有N(n,k)個
遞推式:
前幾項:
n\k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | |||||||
2 | 1 | 1 | ||||||
3 | 1 | 3 | 1 | |||||
4 | 1 | 6 | 6 | 1 | ||||
5 | 1 | 10 | 20 | 10 | 1 | |||
6 | 1 | 15 | 50 | 50 | 15 | 1 | ||
7 | 1 | 21 | 105 | 175 | 105 | 21 | 1 | |
8 | 1 | 28 | 196 | 490 | 490 | 196 | 28 | 1 |
默慈金數
應用
- 在一個圓上的n個點間,畫出彼此不相交的弦的全部方法的總數
遞推式:
-
前幾項:
1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634
盧卡斯定理
應用:
- 大組合數求模
公式:
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