Burnside引理和polay計數學習筆記
首先提出一個問題，在一個2*2的矩陣裡染色，旋轉後相同算作一種，問有多少種染色方法。
顯然窮舉有那麼多種，然後發現，（3，4，5，6）是同一種，（7，8，9，10）是一種，（11，12）是一種，（13，14，15，16），1是一種，2是一種。
發現，顏色少的時候，格子少的時候還是很容易列舉的，但是當問題規模大的時候，計算起來就會比較麻煩。
所以我們要來介紹一下Burnside定理和polay計數。
首先是Burnside定理，介紹之前，首先介紹幾個概念。
一。置換群G ，即所有的置換。以上面的為例子，置換一共有4種—旋轉0度，旋轉90度，旋轉180度，旋轉270度。所以|
二。第二個概念，Zk 對於每個元素K，這裡的K滿足1<=k<=16 ,G 中使得K保持不變的置換全體。
eg.Z1={g1,g2,g3,g4}
Z11={g1,g3}
三。第三個概念，Ek 對於每個元素k，在四種置換下依次得到G下的轉換的編號。
eg.E1={1} ,E2={3,4,5,6}
沒一個Ei 其實就是一個等價類。
根絕上述定義，很容易得到一個公式：|Ek|∗|Zk|=|G|
PS:|Ek| 是第k個元素，在四種變換下能形成的種數。
|Zk| k在|G|種置換下保持不變的個數。
G 表示置換種數
四。接著我們引出第四個概念。D 表示在第i種置換下，沒發生變換的元素個數
D(g1)=16,D(g2)=2,D(g3)=4,D(g4)=2
舉例說就是在第一種置換下，16個元素都不會發生變化，在第二種置換下，1和2元素不會發生變化。
顯然有個公式∑16j=1|Zj|=∑4i=1D(gi)
那麼我們下面來進行最後的公式推導。
n=∑Li=1|Ei| ps.L個等價類
∑nj=1|Zj|=∑Li=1∑j∈E|Zj|=∑Li=1|Ei|∗|Zi|=L∗|G|
又因為∑16j=1|Zj|=∑4i=1D(gi)
所以推出了我們著名的Burnside定理：
L=1|G|∗∑i
這就是著名的Burnside定理。 第一步求出所有的置換。第二步求出所有置換下，不變元素個數。所最開始的例子。ans=(16+2+4+2)/4=6.但是我們發現這個的第二部比較難求。所以我們接下來介紹polay計數法。
polay定理
首先先介紹一個概念—迴圈節。
觀看下一組置換(1,2,3,4,5)−>(3,5,1,4,2)
他的迴圈節是(13)(25)(4) ,所以迴圈節長度是3，兩個迴圈節是不想交的。
記上個問題按逆時針將四個格子放上1，2，3，4。
然後
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發
Burnside引理和Polya定理
開始 多少 tails 沒有 -s 圖片 detail 最簡 方案 轉載自：https://blog.csdn.net/whereisherofrom/article/details/79631703
Burnside引理
筆者第一次看到Burnside引理那個公式的時
【數學專題】(二) Burnside引理和Polya定理
Burnside引理
筆者第一次看到Burnside引理那個公式的時候一頭霧水，找了本組合數學的書一看，全是概念。後來慢慢從Polya定理開始，做了一些題總算理解了。本文將從最簡單的例子出發，解釋Burnside引理和Polya定理。然後提供一些自己做過的和上述定理相關的
Burnside引理和Polya定理之間的聯絡
最近，研究了兩天的Burnside定理和Polya之間的聯絡，百思不得其解，然後直到遇到下面的問題：
對顏色限制的染色
例：對正五邊形的三個頂點著紅色，對其餘的兩個頂點著藍色，問有多少種非等價的著色？
其中置換的方法有旋轉 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 21
等價類計數（Polya定理/Burnside引理）學習筆記
參考：劉汝佳《演算法競賽入門經典訓練指南》
感覺是非常遠古的東西了，幾乎從來沒有看到過需要用這個的題，還是學一發以防翻車。
置換：排列的一一對映。置換乘法相當於函式複合。滿足結合律，不滿足交換律。
置換的迴圈分解：即將置換看成一張有向圖，分解成若干迴圈。迴圈的數量稱為迴圈節。
以置
[學習筆記]置換群 置換群和Burnside引理，Polya定理
這是群論。
置換群是群論的一種：必須要知道的：
置換群和Burnside引理，Polya定理
理解一下；
這裡置換就是旋轉同構的表示，方案就是“染色方案”
m種置換，假如所有可能的方案，每種同構的方案都算了m次。（每種置換都有一次），那麼直接除以m即可。
但是有的方案並沒有被計
Burnside引理，Polya定理和一些計數問題(1)
變換 相同 不同的 觀察 本質 exist 關系 不變 陪集 Burnside引理
考慮一個$S$上的置換群$G$. 對於$u,v \in S$,定義它們“等價”當且僅當存在一個$G$中的置換，將$u$變為$v$.容易發現，這一關系是一個等價關系.設$E(k)$表示$k$所
置換群和Burnside引理，Polya定理
因子 不同的 mir details 構造 itl 置換群 模型 遇到 定義簡化版：
置換，就是一個1~n的排列，是一個1~n排列對1~n的映射
置換群，所有的置換的集合。
經常會遇到求本質不同的構造，如旋轉不同構，翻轉交換不同構等。
不動點：一個置換中，置換後和置換前沒有
burnside引理+polya計數法小結
WC上wwwwodddd講的整數和多項式相關裡面最後又burnside引理的一部分
被生成函式調戲瘋了的我突然斷線重連
坐在禮堂最後一排的沙發位上和老黃人瘋狂口糊
不過聽課的時候想的不是很細，重新整理了一發
大概就是
本質不同的方案數=1置換個
等價類計數：Burnside引理 & Polya定理
提示: 本文並非嚴謹的數學分析，有很多地方是自己瞎口胡的，僅供參考。有錯誤請不吝指出 :p
## 1. 群
### 1.1 群的概念
群 $(S,\circ)$ 是一個元素集合 $S$ 和一種二元運算 $ \circ $ 的合稱，其滿足以下性質。
##### 封閉性
>對於 $\forall a,b
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在了解CSS中的浮動和定位之前有必要先了解清楚標準流和脫離標準流的特性
雖然浮動和定位很重要，但是在以後的網頁寫作中，還是盡量少用，最好別亂用，不然後
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2. 書籍理解：
Git 有三種狀態，你的文
Burnside引理與Polya定理
本質 left sum bsp 之間 染色 polya begin 兩個 感覺這兩個東西好鬼畜= = ，考場上出了肯定不會qwq。不過還是學一下吧用來裝逼也是極好的
群的定義
與下文知識無關。。
給出一個集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的
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題面
BZOJ
洛谷
題解
首先讀完題目，很明顯的感覺就是，分成了兩個部分計算。
首先計算本質不同的珠子個數，再計算本質不同的項鏈個數。
前面一個
burnside引理&polya定理
連接 集合 置換群 產生 side 交換 進行 置換 polya burnside引理&polya定理
置換：
置換即是將n個元素的染色進行交換，產生一個新的染色方案。
群：
一個元素的集合G與一個二元運算(*)構成一個群。群滿足一下性質：
封閉性：\(\fo
ML-提升方法和決策樹學習筆記
整合學習
整合學習通過構建並結合多個學習器來完成學習任務，有時也被稱為多分類器系統，基於委員會的學習。
同質整合：只包含同種型別的個體學習器。
異質整合：包含不同型別的個體學習器。
根據個體學習器的生成方式，目前的整合學習方法大致可分為兩大類，即個體學習器間存在強依賴關係，必須序
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