Burnside引理

考慮一個$S$上的置換群$G$. 對於$u,v \in S$,定義它們“等價”當且僅當存在一個$G$中的置換，將$u$變為$v$.容易發現，這一關系是一個等價關系.設$E(k)$表示$k$所在的等價類.

值得註意的是，由於$G$是群，$\exists f \in G, f(u)=v$當且僅當$\exists f_1,f_2,...,f_s \in G, f_s...f_2f_1(u)=v$

考慮對$S$中等價類數量的計數.這類問題是十分常見的，例如定義了“本質相同”關系後詢問本質不同的元素數量.

現在我們給出Burnside引理：等價類數量$L=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}{|D(g)|}=\frac{1}{|G|}\sum_{k \in S}{|Z(k)|}$,式中$D(g)$表示$g$的不動點，$Z(k)$表示使$k$保持不變的$G$中置換.

要證明它，只需證明$\sum_{k \in S}{|Z(k)|}=|G|L$，觀察發現，我們希望對每個等價類$E_i$,都有$\sum_{k \in E_i}{|Z(k)|}=|G|$.

首先，我們考慮同一等價類中的元素$u,v$,並任取一個將$u$變換到$v$的置換$f$.設$H(u,v)$為$G$中將$u$變換為$v$的置換，則$\forall f_1 \in Z(u),f \circ f_1 \in H(u,v)$，且$\forall f_2 \in H(u,v),f_1=f^{-1} \circ f_2 \in Z(u)$是唯一的，因此$|Z(u)|=|H(u,v)|$.用群論的語言說，$H(u,v)=fZ(u)$是$Z(u)$在$G$中的左陪集。

同時我們知道$\sum_{v \in E(u)} {H(u,v)}=|G|$,因此$|G|=\sum_{v \in E(u)} {Z(u)}=|E(u)||Z(u)|$，即$|Z(u)|=\frac{|G|}{|E(u)|}$.我們發現，這時我們已經得到了證明.

來做算法題吧

在一些時候，$S$是十分龐大的，而$G$中的置換並不多, 枚舉的時間代價可以承受。這時我們可以考慮枚舉$G$的元素$g$，並在原問題中尋找性質，試圖快速算出$D(g)$.一個常見的實現錯誤是漏掉了$G$的單位元.

一個常見的情境是染色問題，$S$是所有染色的方案，而$G$是通過被染色位置的置換給出的（容易驗證被染色位置上的置換群與它帶來的$S$上的置換群是同構的）.以後的文章裏將會講到Polya定理，並舉出算法競賽中的一些經典問題。

Burnside引理，Polya定理和一些計數問題(1)