置換群和Burnside引理,Polya定理
阿新 • • 發佈:2018-08-04
因子 不同的 mir details 構造 itl 置換群 模型 遇到
定義簡化版:
置換,就是一個1~n的排列,是一個1~n排列對1~n的映射
置換群,所有的置換的集合。
經常會遇到求本質不同的構造,如旋轉不同構,翻轉交換不同構等。
不動點:一個置換中,置換後和置換前沒有區別的排列
Burnside引理:本質不同的方案數=每個置換下不動點的個數÷置換總數(一個平均值)
Polya定理:一個置換下不動點的個數=顏色^環個數。(輔助Burnside引理,防止枚舉不動點復雜度過高)
這篇文章寫得很詳細了(具體的在此不說了):
Burnside引理與Polya定理
**特殊模型的環個數:
①旋轉同構,N個點,每個點移動k步(0<=k<=n-1),環個數gcd(k,N)
證明:
1.對於k是N的約數,顯然成立。一個環用N/k個,可以分成N/(N/k)=k個環。gcd(k,N)=k也成立。
2.當k不是N的約數,最小的環長度是:lcm(N,k),環用的端點是:lcm/k個,可以湊成N/(lcm/k)=N*k/lcm=gcd(N,k)個。
證畢。
②對稱同構:
奇數個點對稱:1+(n-1)/2個(軸一定過一個頂點)
偶數:按邊對稱:n/2個
按點對稱:2+(n-2)/2個。
(證明顯然,畫圖自行理解)
**
例題:poj2154 Color
題解:
思路:列出式子,轉化每個因子作為gcd的貢獻。然後處理成歐拉函數即可。
而且,1/n的分母,因為化簡的時候消掉了,不用求逆元之類的。(況且p不是質數,要EXLUCAS。。。)
(類似longge的問題(雖然這篇博客沒用歐拉函數):[SDOi2012]longge的問題)
置換群和Burnside引理,Polya定理