感覺這兩個東西好鬼畜= = ，考場上出了肯定不會qwq。不過還是學一下吧用來裝逼也是極好的

群的定義

與下文知識無關。。

給出一個集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元運算"$*$"，並滿足

(1).封閉性：$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$

(2).結合律：$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$

(3).單位元：$\exists e \in G, \forall a \in G, a * e = e * a = a$

(4). 逆元：$\forall a \in G, \exists b \in G, a * b = b * a = e$，記$b = a^{-1}$

則稱集合$G$在運算“$*$”之下是一個群，簡稱$G$是群

置換

$n$個元素， $1, 2, \dots n$之間的一個置換$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots n \\ a_{1} & a_{2} & \ldots a_{n} \end{pmatrix}$表示$1$被$1$到$n$中的某個數$a_1$取代，$1$被$1$到$n$中的某個數$a_2$取代，$\dots$直到$n$被$1$到$n$中的某個數$a_n$取代，且$a_1, a_2, \dots a_n$互不相同

置換群

置換群的標準定義涉及到新定義，在OI中你可以簡單的認為

置換群的元素是置換，運算是置換的連接，

例如$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

解釋一下：

在第一個置換中，$1$變為$3$，第二個置換中$3$變為$2$，因此$1$先變為$3$再變為$2$

在第一個置換中，$2$變為$1$，第二個置換中$1$變為$4$，因此$2$先變為$1$再變為$4$

在第一個置換中，$3$變為$2$，第二個置換中$2$變為$3$，因此$3$先變為$2$再變為$3$

在第一個置換中，$4$變為$4$，第二個置換中$4$變為$1$，因此$4$先變為$4$再變為$1$

Burnside引理

設$G= \{a_1,a_2, \dots a_g\}$是目標集$[1,n]$上的置換群，$C_i(a_i)$表示在置換$a_i$作用下不動點的個數。$L$表示本質不同的方案數，則

$$L = \frac{1}{|G|} \sum_{j = 1}^s D(a_j)$$

翻譯成人話：有m個置換k種顏色，所有本質不同的染色方案數就是每種置換的不變元素的個數的平均數。

P♂lya定理

在Burnside引理中，$D(a_i)$，也就是不動點的個數往往不是很好計算。如果采用枚舉每個元素的搜索算法，總時間復雜度為$O(nsp)$，其中$n$表示元素個數，$s$表示置換個數，$p$表示格子數

Polya定理對於特定的題目，提供了一種高效的計算方法

首先介紹一下循環的概念

$$\left( a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\right) =\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1}a_{n} \\ a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n}a_{1} \end{pmatrix}$$

稱為$n$階循環。每個置換都可以寫成若幹不相交的循環的乘積，兩個循環$(a_1, a_2, \dots a_n)$和$(b_1b_2 \dots b_n)$互不相交是指$a_i \not =b_j,i, j = 1,2, \dots n$

例如

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\left( 13\right) \left( 25\right) \left( 4\right)$$

解釋一下，$1$先變成$3$，$3$再變成$1$，這樣無限遞歸下去$(1,3)$便構成了一個循環

同理，$(2,5)$也會構成一個循環。

$4$只能變成自己，因此自己構成為一個循環

Polya定理：

設$G$是$p$個對象的一個置換群，用$m$種顏色塗染$p$個對象，則不同染色方案為$$L = \frac{1}{|G|} (m^{c(g_1)} + m^{c(g_2)} + \dots + m^{c(g_s)})$$

其中$G = \{g_1, g_2, \dots g_s \}$ $c(g_i)$為置換$g_i$的循環節數$(i = 1, 2, \dots s)$

Polya定理沒有枚舉元素，因此它的復雜度為$O(sp)$

但是它也有一定的限制條件，比如說某種顏色的不能選

這時候我們就需要利用一個高端操作(例如dp)，來推廣Polya定理

Burnside引理與Polya定理