0. 資料結構圖文解析系列

1. 插入排序簡介

插入排序是一種簡單直觀的排序演算法，它也是基於比較的排序演算法。它的工作原理是通過不斷擴張有序序列的範圍，對於未排序的資料，在已排序中從後向前掃描，找到相應的位置並插入。插入排序在實現上通常採用就地排序，因而空間複雜度為O（1）。在從後向前掃描的過程中，需要反覆把已排序元素逐步向後移動，為新元素提供插入空間，因此插入排序的時間複雜度為O（n^2）;

2. 直接插入排序圖解

一般來說，插入排序都採用在陣列上就地排序實現。具體演算法描述如下：

1. 從第一個元素開始，該元素可以認為已經被排序
2. 取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描
3. 如果該元素（已排序）大於新元素，將該元素移到下一位置
4. 重複步驟3，直到找到已排序的元素小於或者等於新元素的位置
5. 將新元素插入到該位置後
6. 重複步驟2~5

假設我們要對陣列{12，4，5，2，6，14}進行插入排序，排序過程為：

2.1. 程式碼實現

template <typename T>
void InsertSort(T array[],int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];     
            for (j = i - 1; array[j]>temp; j--) //元素後移
            {
                array[j + 1] = array[j];
            }
            array[j+1] = temp;        //在合適的位置上出入元素
        }
    }
}
 

2.2. 複雜度分析

• 插入排序的最好情況是陣列已經有序，此時只需要進行n-1次比較，時間複雜度為O（n）;
• 最壞情況是陣列逆序排序，此時需要進行n(n-1)/2次比較以及n-1次賦值操作（插入）；
• 平均來說插入排序演算法的複雜度為O(n^2)。

插入排序不適合對大量資料進行排序應用，但排序數量級小於千時插入排序的效率還不錯，可以考慮使用。插入排序在STL的sort演算法和stdlib的qsort演算法中，都將插入排序作為快速排序的補充，用於少量元素的排序（通常為8個或以下）。

直接插入排序採用就地排序，空間複雜度為O（1）.

2.3. 穩定性

直接插入排序是穩定的，不會改變相同元素的相對順序。

3. 二分查詢插入排序

上面的插入排序實現中，為了找到元素的合適的插入位置，我們採用從後到前遍歷的順序查詢進行比較，為了減少比較的次數，我們可以換種查詢策略：採用二分查詢。
我們定義一個二分查詢函式，函式返回插入位置的下標：

/*二分查詢函式，返回插入下標*/
template <typename T>
int BinarySearch(T array[], int start, int end, T k)
{
    while (start <= end)
    {
        int middle = (start + end) / 2;
        int middleData = array[middle];
        if (middleData > k)
        {
            end = middle - 1;
        }
        else
            start = middle + 1;
    }
    return start;
}
//二叉查詢插入排序
template <typename T>
void InsertSort(T array[], int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];
            int insertIndex = BinarySearch(array, 0,i, array[i]);//使用二分查詢在有序序列中進行查詢，獲取插入下標
            for (j = i - 1; j>=insertIndex; j--) //移動元素
            {
                array[j + 1] = array[j];   
            }       
            array[insertIndex] = temp;    //插入元素
        }
    }
}

3.2. 複雜度分析

我們這個二分查詢的演算法並不會因為等於某一個值而停止查詢，它將查詢整個序列直到start<=end條件不滿足而得到插入的位置，所以對於長度為n的陣列來說，比較次數為log2n ,時間複雜度為O（log2n）。二分插入排序的主要操作為比較+後移賦值，則：

• 最壞情況：每次都在有序序列的起始位置插入，則整個有序序列的元素需要後移，時間複雜度為O（n^2）
• 最好情況：待排序陣列本身就是正序的，每個元素所在位置即為它的插入位置，此時時間複雜度僅為比較時的時間複雜度，為O(log2n)
• 平均情況：O（n^2）

空間複雜度上， 二分插入排序也是就地排序演算法，它的空間複雜度為O（1）.

3.3. 穩定性

二分插入排序是穩定的。元素的相對順序在排序後不會被改變。