題目

題解

終於搞完了單純形，還真不是個簡單的東西，但是理解之後，演算法挺簡單的，證明只有自動略過了qwq。

學習單純形推薦算導29章，嚴密又不失詳細。

標準的線性規劃式子是，A=(aij),b=(bi),c=(ci),x=(xi)
大小的話A為m* n,b為m* 1,c為1* n,a為1 *n.c右上角的T表示轉置。

會出現一些問題使得它不是個標準型。有以下幾種
1.MAX函式是MIN，對目標函式f取負改成MAX即可
2.變數xi沒有非負約束，那麼拆成兩個變數xi=x′i−x′′i,並且有x′i>=0和x′′

化成這樣之後化成鬆弛型線性規劃式子。(N是非基變數集合，即化成鬆弛型之後在右邊的變數)

弄好了之後，為了方便解，一般要變成一種鬆弛型的等式形式。即對於第i個約束

好像這裡需要初始化一下以保證初始基本解可行，因為本題特殊，只需要對偶一下就可以，對偶的具體操作以及後續計算可以看這裡–傳送

然後反覆使用單純形法，感覺就是不斷增加z的表示式中的v，不斷拿一個基變量出來和非基變數進行替換(即pivot操作)，直到ci全部為負數，返回答案。

後續初始化還要學學.學的還很多

以及這道題很神的費用流做法，以及啥是zkw費用流，提及zkw的話還有，zkw線段樹qwq。

程式碼

相當於自己的一個板子啦qwq。

//QWsin
#include<cmath>
#include<cstdio>
 

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-7;
const int maxm=10000+10;
const int maxn=1000+10;
const double INF=(1ull<<63);
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m;
double c[maxn],b[maxm],cof[maxm][maxn];

//who in ,who out , the ans
inline void Pivot(int in,int out,double &z)
{
    b[out]/=cof[out][in];
    cof[out][in]=1/cof[out][in];
    for(int i=1;i<=n;++i) if(i!=in) cof[out][i]*=cof[out][in];

    for(int i=1;i<=m;++i) if(i!=out && fabs(cof[i][in]) > eps )//fabs(cof[out][in]) > eps 你這樣寫是會把剪枝去掉然後T到飛起的 
    {
        b[i]-=b[out]*cof[i][in];
        for(int j=1;j<=n;++j) if(j!=in) cof[i][j]-=cof[out][j]*cof[i][in];
        cof[i][in]=-cof[i][in]*cof[out][in];
    }

    z+=c[in]*b[out];//v增加的量
    for(int i=1;i<=n;++i) if(i!=in) c[i]-=c[in]*cof[out][i];
    c[in]=-c[in]*cof[out][in];
}

inline double Simplex()
{
    double z=0;
    while(1)
    {
        int in,out;
        for(in=1;in<=n;++in) if(c[in]>eps) break;
        if(in==n+1) break;//not found

        double jin=INF;//find the YveShu that is the most Jin 
        for(int i=1;i<=m;++i) if(cof[i][in] > eps && b[i]/cof[i][in]<jin)
            jin=b[i]/cof[i][in],out=i;

        if(jin==INF) return INF;
        Pivot(in,out,z);
    }
    return z;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=read();
    for(int i=1,s,t;i<=m;++i)
    {
        s=read();t=read();
        for(int j=s;j<=t;++j) cof[i][j]=1;
        b[i]=read();
    }
    printf("%lld\n",(long long)(Simplex()+0.5));
    return 0;
}