bzoj1061: [Noi2008]志願者招募 費用流
阿新 • • 發佈：2019-02-10
首先貼個線性規劃原問題模型:
max c1x1+c2x2+...cnxn
約束條件
ai1x1+ai2x2+...ainxn>=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn<=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn 無限制
變數
xi>=0 /xi<=0/xi=0/xi無限制
網路流對應到線性規劃，籠統的講，就是每條邊的流量（而非容量）看做每個變數xi，每個等式即為每個點的流量平衡條件. 即sigma(F[u,i])=sigma(F[i,v]). 直觀的對應可看做 出邊流量-入邊流量=0 即sigma(F[i,v])-sigma(F[u,i])=0
得到結論: 這樣對於每條邊(u,v)若為Xi，Xi會在u的流量平衡條件式子（約束）中以正的形式出現一次，在v的流量平衡條件式子中以負的形式出現一次.
然後構圖的話，具體是這樣，把每個等式看做一個點，對於一個變數Xi,若它在等式u中以正的形式出現（即它為u的一條出邊），在等式v中以負的形式出現（即它為v的一條入邊），則顯然它恰是邊(u,v) . 最終Xi的解，即為(u,v)的流量.
但是會發現，上面的結論並不完全正確！如果構建的是有源匯的網路，顯然由於源匯無這樣的流量平衡條件，即不存在以上的式子，所以有關源匯的邊，也就是形如源->u,v->匯的邊，只會出現一次.
怎麼辦？可以把有關源匯的邊先拿出來，那麼顯然就變成每個式子為 sigma(F[i,v])-sigma(F[u,i])=bi
如果bi>0 即出邊流量=入邊容量+bi ，說明原來是源點到該點有一條bi的邊，才使之流量平衡的.
如果bi<0 即出邊容量+|bi|=入邊容量，說明 原來是該點到匯點有一條|bi|=-bi的邊，才使流量平衡的.
PS 之所以源匯要必要分開討論，是因為所建容量需為正.
這裡bi可為變數，也可為常量. 如果是變數應易知它的正負，如果為常量，顯然只有最大流滿流才是可行解.
所以，類似上述的大多等式都可用網路流來解. 當然也有可能是作差後通過BLAH轉化而來的等式.
然後，除個別外每個變數以正的負的形式都恰出現一次，經常是網路流的流量平衡條件，可用網路流來做.
max c1x1+c2x2+...cnxn
約束條件
ai1x1+ai2x2+...ainxn>=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn<=bi
ai1x1+ai2x2+...ainxn 無限制
變數
xi>=0 /xi<=0/xi=0/xi無限制
網路流對應到線性規劃，籠統的講，就是每條邊的流量（而非容量）看做每個變數xi，每個等式即為每個點的流量平衡條件. 即sigma(F[u,i])=sigma(F[i,v]). 直觀的對應可看做 出邊流量-入邊流量=0 即sigma(F[i,v])-sigma(F[u,i])=0
得到結論: 這樣對於每條邊(u,v)若為Xi，Xi會在u的流量平衡條件式子（約束）中以正的形式出現一次，在v的流量平衡條件式子中以負的形式出現一次.
然後構圖的話，具體是這樣，把每個等式看做一個點，對於一個變數Xi,若它在等式u中以正的形式出現（即它為u的一條出邊），在等式v中以負的形式出現（即它為v的一條入邊），則顯然它恰是邊(u,v) . 最終Xi的解，即為(u,v)的流量.
但是會發現，上面的結論並不完全正確！如果構建的是有源匯的網路，顯然由於源匯無這樣的流量平衡條件，即不存在以上的式子，所以有關源匯的邊，也就是形如源->u,v->匯的邊，只會出現一次.
怎麼辦？可以把有關源匯的邊先拿出來，那麼顯然就變成每個式子為 sigma(F[i,v])-sigma(F[u,i])=bi
如果bi>0 即出邊流量=入邊容量+bi ，說明原來是源點到該點有一條bi的邊，才使之流量平衡的.
如果bi<0 即出邊容量+|bi|=入邊容量，說明 原來是該點到匯點有一條|bi|=-bi的邊，才使流量平衡的.
PS 之所以源匯要必要分開討論，是因為所建容量需為正.
這裡bi可為變數，也可為常量. 如果是變數應易知它的正負，如果為常量，顯然只有最大流滿流才是可行解.
所以，類似上述的大多等式都可用網路流來解. 當然也有可能是作差後通過BLAH轉化而來的等式.
然後，除個別外每個變數以正的負的形式都恰出現一次，經常是網路流的流量平衡條件，可用網路流來做.
（不等式有時可加個變數從而變成等式，但要注意加的變數也要滿足"正負"條件，這題是因為相鄰作差恰滿足所以才可以的，詳見BYVOID這題題解）
#include <cstdio> #include <queue> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; #define MAXN 310000 #define MAXM 310000 #define INF 0x3f3f3f3f struct node { int u,v,f,c,next; }e[MAXM],tree[MAXM]; int k,head[MAXN],pre[MAXN],dist[MAXN],vis[MAXN],cost[MAXN]; int en,s,t,maxflow,mincost,m,n,num; int save[100][100],need[1000]; void add(int u,int v,int f,int c) { e[en].u=u; e[en].v=v; e[en].c=c; e[en].f=f; e[en].next=head[u]; head[u]=en++; e[en].u=v; e[en].v=u; e[en].c=-c; e[en].f=0; e[en].next=head[v]; head[v]=en++; } int spfa() { int i,u,v; for(i=0;i<=t;i++) pre[i]=-1,vis[i]=0,dist[i]=INF; dist[s]=0; vis[s]=1; queue<int>q; q.push(s); while(!q.empty()) { u=q.front(); q.pop(); for(i=head[u];i!=-1;i=e[i].next) { v=e[i].v; if(e[i].f>0&&dist[u]+e[i].c<dist[v]) { dist[v]=dist[u]+e[i].c; pre[v]=i; if(!vis[v]) { vis[v]=1; q.push(v); } } } vis[u]=0; } if(dist[t]==INF) return 0; return 1; } void add2() { int v; int maxf=INF; for(v=pre[t];~v;v=pre[e[v].u]) maxf=min(maxf,e[v].f); for(v=pre[t];~v;v=pre[e[v].u]) { e[v].f-=maxf; e[v^1].f+=maxf; } maxflow+=maxf; mincost+=maxf*dist[t]; } void init() { maxflow=0; s=0; t=10001; memset(head,-1,sizeof(head)); } int main() { int l=0,r,a,b,c,d; scanf("%d%d",&n,&m); init(); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&r); int x=r-l; if(x>0) add(s,i,x,0); else add(i,t,-x,0); add(i+1,i,INF,0); l=r; } add(n+1,t,l,0); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&l,&r,&c); add(l,r+1,INF,c); } while(spfa()) add2(); printf("%d\n",mincost); return 0; } /* 3 10 2 3 3 2 5 6 7 */