1061: [Noi2008]志願者招募
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Description
申奧成功後，布布經過不懈努力，終於成為奧組委下屬公司人力資源部門的主管。布布剛上任就遇到了一個難題：為即將啟動的奧運新專案招募一批短期志願者。經過估算，這個專案需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 個人。 布布通過了解得知，一共有M 類志願者可以招募。其中第i 類可以從第Si 天工作到第Ti 天，招募費用是每人Ci 元。新官上任三把火，為了出色地完成自己的工作，布布希望用盡量少的費用招募足夠的志願者，但這並不是他的特長！於是布布找到了你，希望你幫他設計一種最優的招募方案。
Input
第一行包含兩個整數N, M，表示完成專案的天數和可以招募的志願者的種類。 接下來的一行中包含N 個非負整數，表示每天至少需要的志願者人數。 接下來的M 行中每行包含三個整數Si, Ti, Ci，含義如上文所述。為了方便起見，我們可以認為每類志願者的數量都是無限多的。
Output
僅包含一個整數，表示你所設計的最優方案的總費用。
Sample Input
3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
Sample Output
14
HINT
招募第一類志願者3名，第三類志願者4名 30%的資料中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10； 100%的資料中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，題目中其他所涉及的資料均 不超過2^31-1。
這道題正確的解法是構造網路，求網路最小費用最大流，但是模型隱藏得較深，不易想到。構造網路是該題的關鍵，以下面一個例子說明構圖的方法和解釋。
例如一共需要4天，四天需要的人數依次是4,2,5,3。有5類志願者，如下表所示：
種類 1 2 3 4 5
時間 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4
費用 3 4 3 5 6
設僱傭第i類志願者的人數為X[i]，每個志願者的費用為V[i]，第j天僱傭的人數為P[j]，則每天的僱傭人數應滿足一個不等式，如上表所述，可以列出
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
對於第i個不等式，新增輔助變數Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其變為等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四個等式上下新增P[0]=0,P[5]=0，每次用下邊的式子減去上邊的式子，得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
觀察發現，每個變數都在兩個式子中出現了，而且一次為正，一次為負。所有等式右邊和為0。接下來，根據上面五個等式構圖。
每個等式為圖中一個頂點，新增源點S和匯點T。
如果一個等式右邊為非負整數c，從源點S向該等式對應的頂點連線一條容量為c，權值為0的有向邊；如果一個等式右邊為負整數c，從該等式對應的頂點向匯點T連線一條容量為c，權值為0的有向邊。
如果一個變數X[i]在第j個等式中出現為X[i]，在第k個等式中出現為-X[i]，從頂點j向頂點k連線一條容量為∞，權值為V[i]的有向邊。
如果一個變數Y[i]在第j個等式中出現為Y[i]，在第k個等式中出現為-Y[i]，從頂點j向頂點k連線一條容量為∞，權值為0的有向邊。
構圖以後，求從源點S到匯點T的最小費用最大流，費用值就是結果。
根據上面的例子可以構造出如下網路，紅色的邊為每個變數X代表的邊，藍色的邊為每個變數Y代表的邊，邊的容量和權值標已經標出(藍色沒有標記，因為都是容量∞，權值0)。

在這個圖中求最小費用最大流，流量網路如下圖，每個紅色邊的流量就是對應的變數X的值。

所以，答案為43+23+3*6=36。
上面的方法很神奇得求出了結果，思考為什麼這樣構圖。我們將最後的五個等式進一步變形，得出以下結果
① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0
② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0
③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0
④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0
⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0
可以發現，每個等式左邊都是幾個變數和一個常數相加減，右邊都為0，恰好就像網路流中除了源點和匯點的頂點都滿足流量平衡。每個正的變數相當於流入該頂點的流量，負的變數相當於流出該頂點的流量，而正常數可以看作來自附加源點的流量，負的常數是流向附加匯點的流量。因此可以據此構造網路，求出從附加源到附加匯的網路最大流，即可滿足所有等式。而我們還要求noi_employee_3最小，所以要在X變數相對應的邊上加上權值，然後求最小費用最大流。
由於建圖太神，只能%rush出正解的神犇。。
當時知道費用流也不會建圖，等學完線性規劃update此篇博文。。
附上本蒟蒻的程式碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define T 1002
#define inf 0x7fffffff
int n,m,cnt=1,head,tail,dis[10001],h[10001],q[10001],ans=0,sum;
bool mark[10001],vis[10001];
struct kx
{
    int to,next,v,c;
}edge[50001];

int read()
{
    int w=0,s=1; char ch=getchar();
    while
 
 (ch<'0' || ch>'9')
      {
        if (ch=='-') s=-1;
        ch=getchar();
      }
    while (ch>='0' && ch<='9')
      w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
    return w*s;
}

void add(int u,int v,int w,int cost)
{
    cnt++,edge[cnt].next=h[u],h[u]=cnt,edge[cnt].to=v,edge[cnt].v=w,edge[cnt].c=cost;
    cnt++,edge[cnt].next=h[v],h[v]=cnt,edge[cnt].to=u,edge[cnt].v=0,edge[cnt].c=-cost;
}

bool spfa()
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for (int i=0;i<=T;i++)
      dis[i]=inf;
    head=0;
    tail=1;
    q[0]=T;
    vis[T]=true;
    dis[T]=0;
    while (head<tail)
      {
        int now=q[head];
        head++;
        vis[now]=false;
        for (int i=h[now];i;i=edge[i].next)
          if (edge[i^1].v && dis[now]-edge[i].c<dis[edge[i].to])
            {
              dis[edge[i].to]=dis[now]-edge[i].c;
              if (!vis[edge[i].to])
                {
                  vis[edge[i].to]=true;
                  q[tail++]=edge[i].to;
                }
            }
      }
    return dis[0]!=inf;
}

int dfs(int x,int f)
{
    int w,used=0;
    mark[x]=true;
    if (x==T)
      return f;
    for (int i=h[x];i;i=edge[i].next)
      if (dis[edge[i].to]==dis[x]-edge[i].c && edge[i].v && !mark[edge[i].to])
        {
            w=f-used;
            w=dfs(edge[i].to,min(w,edge[i].v));
            ans+=w*edge[i].c;
            edge[i].v-=w;
            edge[i^1].v+=w;
            used+=w;
            if (used==f)
              return f;
        }
    return used;
}

int main()
{
    int i,l=0,r,x,y,c;
    n=read(),m=read();
    for (i=1;i<=n;i++)
      {
        r=read();
        x=r-l;
        if (x>0) add(0,i,x,0);
        else add(i,T,-x,0);
        add(i+1,i,inf,0);
        l=r;
      }
    add(n+1,T,l,0);
    for (i=1;i<=m;i++)
      {
        x=read(),y=read(),c=read();
        add(x,y+1,inf,c);
      }
    while (spfa())
      {
        mark[T]=true;
        while (mark[T])
          {
            memset(mark,false,sizeof(mark));
            sum+=dfs(0,0x7fffffff);
          }
      }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}