線代題型的總結

1. 行列式

1.1 計算行列式的值

1. 使用帶餘子式的展開公式(即按行或者按列展開)
2. 注意兩行互換位置(變號),兩行成比例或者某行為0(為0)的情況
3. 逐行相加的方法
4. 每行都加到第一行上去
5. 第一行加到每一行上去
6. 利用已知條件從Xn與Xn-1的關係中找到遞推公式
7. 對於n階的三對角線行列式, 通常可用數學歸納法
8. 知道幾個重要的公式(上下三角形行列式, 副對角線行列式, 拉普拉斯展開式式, 範德蒙行列式)

李王全書: P312.例1,2,3,6,8,9,10,11

1.2 抽象型行列式的計算

注意理解那些抽象的行列式的公式即可

李王全書: P319.例13,14,15,16,17

1.3 判斷行列式|A|是否為0

1. 矩陣不可逆
2. r(A)

1.4 關於代數餘子式求和

1. 利用Aij與aij的值無關的特性, 構造新的行列式|B|來間接計算
2. 用第i行元素乘以第j行相應代數餘子式乘積之和為0的性質
3. 跟隨伴隨矩陣A*的定義, 通過求A*再來求和

李王全書: P322. 例21,22

2. 矩陣

2.1 特殊方陣的冪

1. A^n = k^(n-1) * A
2. A^n = (E+B)^n = E^n + nBE^(n-1) + n(n-1)/2B^2 E(n-2), 後面的項為0
3. 利用N階拉普拉斯矩陣的特性
4. A^n = (BC)^n = B(CB)(CB)C這樣來拆

李王全書: P334.例7,8,9,11

2.2 伴隨矩陣的相關問題

1. 主要把握好伴隨矩陣的組成, 即餘子式轉置
2. 還有就是伴隨矩陣的定義: AA^* = A^* A = |A|A^-1

李王全書: P337.例12,13,14,15

2.3 求逆矩陣

1. 用伴隨矩陣求
2. 用增廣矩陣的初等行變換

李王全書: P339.例18,19,20

2.4 初等變換,初等矩陣

1. 注意初等變換都可以用與初等矩陣相乘的形式來實現
2. 注意行變換與列變換乘以變換矩陣的方式不同

李王全書: P342.例24,26

2.5 計算矩陣的秩

1. 記得秩的一些結論比如r(AB) <= r(A)
2. r(A+B) <= r(A) + r(B)

李王全書: P343. 例27,30,31

3. 向量

3.1 線性相關的判別

1. 給出α1,α2,α3(其中帶係數t), 他們若線性相關, 那麼齊次方程組x1α1 + x2α2 + x3α3就有非零解, 也就是說秩小於3
2. 已知ai(1<=i<=4)之間都是線性無關的, 求用ai表示的式子的線性相關性, 那麼可以假設ai為[1,0,0,0]和[0,1,0,0]等來進行驗證
3. 證明線性無關通常思路是用定義法, 齊次方程組只有零解或者反證法

李王全書: P352. 例1,2,7,8,10,11,12

3.2 秩與極大線性無關組

求秩和極大線性無關組的方法主要有初等變換直接求或者是利用增廣矩陣來進行計算. 需要注意的是極大線性無關組與特徵向量並不相同, 不要混為一談. 並且求極大線性無關組時只能要麼全做行變換, 要麼全做列變換. 但是計算秩的時候可以混著用.

李王全書: P359.例13,14,15

3.3 正交化, 正交矩陣

1. 求與一個向量組中所有向量都正交的向量. 那麼把這個向量認為是x, 然後通過化簡使得有唯一零解即可
2. 根據正交矩陣的定義來證明一些題

李王全書: P360. 例16,17,19

3.4 向量空間

1. 求過渡矩陣與座標變換.
2. 某向量在兩個座標系下有相同的座標, 求該向量. 通過兩個座標系座標相同列等式, 化為一邊只有解矩陣即可.

李王全書: P361. 例21,22,23

4. 線性方程組

4.1 線性方程組的求解

1. 求齊次線性方程組的通解.
2. 求基礎解繫有兩種方法, 一種是給自由未知量賦一個(1,0)和(0,1)這樣的值, 帶入方程後解出其他的值. 或者是假設自由未知量為ki的倍數, 然後解出對於單個的xi來說k的係數, 綜合起來就是基礎解繫了.
3. 對於向量矩陣的化簡中對於引數的討論, 取值的不同關係到有多少個解的問題

李王全書: P372.例7,10,11

4.2 Ax=0中引數矩陣A的行向量與解向量的關係

將普通的引數與解反轉過來, 詳見380

李王全書: P380.例15

4.3 線性方程組中引數矩陣的列向量和解向量的關係

就是說初等行變化不改變線性方程組的解, 但是還是不懂

李王全書: P382.例18

4.4 兩個方程組的公共解

1. 直接解二者的公共方程組
2. 通過假設第一個方程的通解, 再帶入第二個方程求得需要的解
3. 通過通解求出公共解

李王全書: P383.例19

4.5 使用克拉默法則

李王全書: P387.例25

5. 特徵值、特徵向量、相似矩陣

5.1 特徵值、特徵向量的求法

要學會求特徵值, 特徵向量, 以及與A有關的矩陣的引數的變化

李王全書: P392. 例1,2,3

5.2 判斷是否相似於對角矩陣並求P使得P^-1 B P = A

按照方法求即可

李王全書: P398.例10

5.3 由特徵值、特徵向量反求A

注意反求的公式以及正交矩陣特殊的性質

李王全書: P400.例13,14

5.4 矩陣相似及相似標準形

1. 求對角陣
2. 相似矩陣的性質
3. 以及求兩矩陣之間通過對角陣的方式進行轉化
4. 求實對稱矩陣的對角矩陣

李王全書: P402.例15,16,17,18

5.5 相似對角陣的應用

1. 相似對角陣用來計算行列式的值很適合
2. 用來計算矩陣的冪次有著天然的優勢, 注意其中的小技巧(李王全書P408)
3. 特徵值可以用來代替一個向量來進行計算
4. 特徵向量可以用來表示其他向量, 這樣計算就變得簡單了

李王全書: P407.例20,21,22,24