Content:

2 Logistic Regression. 

　　2.1 Classification. 

　　2.2 Hypothesis representation. 

　　　　2.2.1 Interpreting hypothesis output. 

　　2.3 Decision boundary. 

　　　　2.3.1 Non-linear decision boundaries. 

　　2.4 Cost function for logistic regression. 

　　　　2.4.1 A convex logistic regression cost function. 

　　2.5 Simplified cost function and gradient descent. 

　　　　2.5.1 Probabilistic interpretation for cost function. 

　　　　2.5.2 Gradient Descent for logistic regression. 

　　2.6 Multiclass classification problem

key words: logistic regression, classification, decision boundary, convex function, One-vs-all

2.6 Multiclass classification problem

現實中也常遇到多分類問題(multiclass classification problem)，如判斷手寫的數字是0~9中的哪一個就是一個有10類的問題。多分類學習的基本思路是“拆解法”，即將多分類任務拆為若干個二分類任務求解。具體來說，先對問題進行拆分，然後為拆分出的每個二分類任務訓練一個分類器（也就是h(x)）；在預測時，對這些分類器的預測結果進行整合。

下面介紹一個常用的拆分策略-“One-vs-all”.

One-vs-all每次將一個類的樣例作為正例(“1”)，所有其他類作為反例(“0”)來訓練n個分類器。在預測時，有兩種情況看

• 情況1：若僅有一個分類器預測為正例，則對應的類別標記作為最終分類結果；
• 情況2：若有多個分類器預測為正例，則選擇分類器的預測置信度最大的類別標記為分類結果，也就是 。

例如對於圖2-10所示的多分類問題，我們先將三角形，正方形，叉分別標記為類別1，2，3，然後做如下劃分：

1. 先將三角形看作正例“1”，正方形和叉看作反例“0”，訓練出h_θ¹(x)
2. 再將正方形看作正例“1”，三角形和叉看作反例“0”，訓練出h_θ²(x)
3. 最後將叉看作正例“1”，三角形和正方形看作反例“0”，訓練出h_θ³(x)

預測時每一個預測值都是一個形如[h_θ¹(x), h_θ²(x), h_θ³(x)]的向量。選出最大的h(x)，它的上標就是對應的類別標記。例如若預測值為[0.13, 0.24, 0.79]，對應的就是上文所說的情況1，即只有h_θ³(x) > 0.5表現為正例，所以應該認為是屬於3標記類，即為叉。若預測值為[0.12, 0.83, 0.56], 對應的就是上文所說的情況2，h_θ²(x) 和h_θ³(x)都大於0.5，都預測為正例，但h_θ²(x)> h_θ³(x)，所以應該預測是屬於2標記類，即為正方形。

               圖2-10