多重集下的組合數

阿新 • • 發佈：2019-01-21

多重集定義

多重集是指包含重複元素的廣義集合
例如 $S = {n_{1} \cdot a_{1}, n_{2} \cdot a_{2}, . . ., n_{k} \cdot a_{k}}$ 就是由 $n_{1}$ 個 $a_{1}$ ， $n_{2}$ 個 $a_{2}$ ，…， $n_{k}$ 個 $a_{k}$ 組成的多重集

多重集的排列數

給定一個多重集 $S = {n_{1} \cdot a_{1}, n_{2} \cdot a_{2}, . . ., n_{k} \cdot a_{k}}$
其排列數為

A = \frac{N!}{n_{1}! n_{2}! . . . n_{k}!} (N = \sum_{i = 1}^{k} n_{i})

多重集的組合數

（Q1）
給定一個多重集 $S = {n_{1} \cdot a_{1}, n_{2} \cdot a_{2}, . . ., n_{k} \cdot a_{k}}$

S = {n_{1} \cdot a_{1}, n_{2} \cdot a_{2}, . . ., n_{k} \cdot a_{k}}

以及一個整數

m

，且有

m <= n_{i} (\forall i \in [1, k])

求從S中取出任意m個元素可以產生的不同多重集數量
（A1）

a n s = C_{k + m - 1}^{k - 1}

證明

題目所求就是滿足 $\sum_{i = 1}^{k} x_{i} = m$ 的多重集 ${x_{1} \cdot a_{1}, x_{2} \cdot a_{2}, . . ., x_{k} \cdot a_{k}}$ 的數量
換句話說
就是就是要給每個 $x_{i}$ 賦值 $[0, m]$ 中的任意整數，且所有 $x_{i}$ 的和為m
(這裡因為有 $m <= n_{i} (\forall i \in [1, k])$

m <= n_{i} (\forall i \in [1, k])

，所以不用考慮

x_{i} > n_{i}

的情況)

若我們用0的個數表示每個 $x_{i}$ 的值
那麼我們可以轉化原問題為
用 $k - 1$ 個 $1$

多重集下的組合數

多重集定義多重集是指包含重複元素的廣義集合例如S={n1⋅a1,n2⋅a2,...,nk⋅ak}S={n1⋅a1,n2⋅a2,...,nk⋅ak}就是由n1n1個a1a1，n2n2個a2a2，…

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