題目: 有n種物品, 第i種物品有a個. 不同種類的物品可以互相區分, 但相同種類的無法區分.

從這些物品中取出m個, 有多少種取法? 求出數模M的餘數.

例如: 有n=3種物品, 每種a={1,2,3}個, 取出m=3個, 取法result=6(0+0+3, 0+1+2, 0+2+1, 1+0+2, 1+1+1, 1+2+0).

dp[i][j]  表示前i種物品,一共拿了j個物品的方法數

為了得到dp[i][j]，那麼可以從前i-1種物品取j-k個,再從第i種物品取k個即可

即 有：  

然而這個公式是O（n  （m^2））的。

不過我們可以發現，把右邊求和式展開

分兩種情況：

情況1：j<=x[i]  （即j-1<x[i]）

右邊展開得到的是dp[i][0] dp[i][1] dp[i][2]....dp[i][j] 、 把最後一項拿出來，剩下的j-1項求和，但是我們寫成這樣：

，與原來等價，且我們能輕易發現，這就是dp[i][j-1];

也就是 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];

情況 2：  j>x[i]

右邊展開得到的是dp[i][j-x[i]] dp[i][j-x[i]+1] dp[i][j-x[i]+2]....dp[i][j] 、仿照上面的形式，同樣得到一個求和式（上界取x[i]），

顯然能發現這個式子拆開後，多出一項dp[i][j-1-x[i]]，所以最後要減掉，即：dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j] - dp[i][j-1-x[i]];

綜上，遞推式為：

if(j >a[i] )
dp[i+1][j] = (dp[i][j] + dp[i+1][j-1] - dp[i][j-1-a[i]] +M)%M;
else{
dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1]; 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
int n,m;
int a[1005];

int dp[1005][1005];


int main()
{
	while(cin >> n >> m){
		for(int i = 0;i < n;i++){
			cin >> a[i];
		}
		int M;
		
		cin >> M;
		for(  i = 0;i <= n;i++){
			dp[i][0] = 1;
		}
		for(  i = 0;i < n;i++){
			for(int j = 1;j <= m;j++){
				if(j >a[i] )
					dp[i+1][j] = (dp[i][j] + dp[i+1][j-1] - dp[i][j-1-a[i]] +M)%M;
 

//此處+M是防止減法操作得到一個負數， 加一個M不影響結果並保證了答案不為負數。
				else{
					dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-1]; 
				}
			}
		} 
	printf("%d\n",dp[n][m]);
	} 	
	return 0;
	
}