1.基礎dp 整數劃分：

1.1基礎題目1：輸入一個正數n，輸出所有和為n連續正數序列。

例如輸入15，由於1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以輸出3個連續序列1-5、4-6和7-8。

思路：等差數列的求和，an=a1+k-1 ;（a1+a1+k-1）*k=2*n; 先求出k即找出2*n的因子；

解的集合與 2n的在[2,sqrt(2n)]區間的幾個因子相關。每個因子可能對應一個解-----a1;也可能沒有解；等差數列的性質 假設 a1最小為1，則(a1+a1+k-1)*k/2=(k+1)*k/2;要滿足(k+1)*k不超過2*n;

即解最大為sqrt（2*n）+1;最小為2；k可以理解為等差序列中元素的個數。

虛擬碼：1) 令imax=sqrt（2*n）+1；

2) 令i=2~imax；

3) 如果i可以被（2*n）整除，令temp=2*n-i*i+i;之後判斷如果2*i也可以被temp整除,（說明可以a1有解，即a1= temp/(2*i) ）;

4) 令start=temp/(2*i);end=start+i-1;

5) 輸出 j=start~end;

6) 迴圈 3）-5）

C語言實現：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int n,temp,start,end;
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		int imax=(int)sqrt(n*2)+1;
		for(int i=2;i<imax;i++)
		{
			if((n*2)%i==0)
			{
				temp=n*2-i*i+i;
				if(temp%(i*2)==0)
			   { 
				start=temp/(i*2);
				end=start+i-1;
				printf("%d = ",n);//列印輸出
				for(int j=start;j<end;j++)
				printf("%d+",j);
				printf("%d\n",end);
			   }
			}
		}
	}
}
 

1.1基礎題目2_跳臺階問題(Fibonacci序列)
題目：一個臺階總共有n級，如果一次可以跳1級，也可以跳2級。求總共有多少總跳法，並分析演算法的時間複雜度;

f(1)=1; f(2)=2;f(n)=f(n-1)+f(n-2),(n>2);

//遞迴程式碼

int fib(int n)
{
	if(n==1)return 1;
	if(n==2)return 2;
	return fib(n-1)+fib(n-2);
}

1.1正題——整數劃分

是指把一個正整數n寫成如下形式：

 n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。

該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。

下面我們考慮求f(n,m)的方法;

 根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

（1）當 n = 1 時，不論m的值為多少（m > 0 )，只有一種劃分即 { 1 };

（2）當 m = 1 時，不論n的值為多少，只有一種劃分即 n 個 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

（3）當 n = m 時，根據劃分中是否包含 n，可以分為兩種情況：  

(a). 劃分中包含n的情況，只有一個即 { n }

      (b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。

   因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

(4) 當 n < m 時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於 f(n, n);

(5) 但 n > m 時，根據劃分中是否包含最大值 m，可以分為兩種情況：

    (a). 劃分中包含 m 的情況，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和為 n - m，可能再次出現 m，因此是（n - m）的 m 劃分，因此這種劃分個數為 f(n-m, m);

(b). 劃分中不包含 m 的情況，則劃分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 劃分，個數為 f(n, m - 1);

因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

問題1：求整數劃分的個數

//遞迴程式碼

//遞迴程式碼
int div(int n,int m)
{
	if(n==1||m==1)
	return 1;
	if(n<m)
	return div(n,n);
	if(n==m)
	return 1+div(n,m-1);
	if(n>m)
	return div(n-m,m)+div(n,m-1);
}

//打表法，記憶搜尋
#include<stdio.h>
#include<string.h>

int a[100][100];//記憶化搜尋 

int fun(int n,int m)
{
	if(a[n][m]>0)
	{	//	printf("Use the a[%d][%d]\n",n,m);
		return a[n][m];
	}
	if(n==1)
	return a[1][m]=1;
	if(m==1)
	return a[n][1]=1;
	if(n<m)
	return a[n][n]=fun(n,n);
	if(n==m)
	return a[n][m]=fun(n,m-1)+1;
	if(n>m)
	return a[n][m]=fun(n-m,m)+fun(n,m-1);
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		memset(a,-1,sizeof(a));
		int n;
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",fun(n,n));
	}
	return 0;
}

問題 2：輸出整數劃分的元素？

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int tp;
int div(int n,int m)
{
	if(n==1||m==1){ 
	if(n==1)
	printf("1\n");
	else if(m==1)
	{
		int j=tp-n;
		if(j!=0)
		printf("%d ",j);
		while(n--)
		printf("1 ");
		printf("\n");
	} 
	return 1;
   }
	if(n<m){
		//printf("%d\n",n); 
		return div(n,n);
	}
	if(n==m)
	{
		printf("%d\n",n);
		return 1+div(n,m-1);
	}
	if(n>m){
		printf("%d ",m);
		return div(n-m,m)+div(n,m-1);
		printf("\n");
	}
}
int main()
{
	int n;
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		tp=n;
		printf("%d\n",div(n,n));
	}
}

NYOJ176整數劃分（二）

時間限制：1000 ms  |  記憶體限制：65535 KB

難度：3

描述

把一個正整數m分成n個正整數的和，有多少種分法？

例：把5分成3個正正數的和，有兩種分法：

1 1 3

1 2 2

輸入

第一行是一個整數T表示共有T組測試資料(T<=50)每組測試資料都是兩個正整數m,n，其中(1<=n<=m<=100),分別表示要拆分的正數和拆分的正整數的個數。

輸出

輸出拆分的方法的數目。

樣例輸入

2

5 2

5 3

樣例輸出

2

2

#include<stdio.h>
int dp[101][101]={1};
int main()
{
	for(int i=1;i<101;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",dp[n][m]);
	} 
	 return 0;  
}

整數劃分終極版

NYOJ571整數劃分(三)

時間限制：1000 ms  |  記憶體限制：65535 KB

難度：5

描述

整數劃分是一個經典的問題。請寫一個程式,完成以下要求。

輸入

每組輸入是兩個整數n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

輸出

對於輸入的 n,k;第一行： 將n劃分成若干正整數之和的劃分數。第二行： 將n劃分成k個正整數之和的劃分數。第三行： 將n劃分成最大數不超過k的劃分數。第四行： 將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數。第五行： 將n劃分成若干不同整數之和的劃分數。第六行： 列印一個空行

樣例輸入

5 2

樣例輸出

7

2

3

3

3

提示

樣例輸出提示:1.將5劃分成若干正整數之和的劃分為： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+12.將5劃分成2（k個）個正整數之和的劃分為： 3+2, 4+13.將5劃分成最大數不超過2的劃分為： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+24.將5劃分成若干 奇正整數之和的劃分為： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+15.將5劃分成若干不同整數之和的劃分為： 5, 1+4, 2+3

#include<stdio.h>
int d1[101][101];//若干整數之和與最大不超過 k的劃分
int d2[101][101];//將 n劃分成 k個不同整數之和的劃分 
int d4[101][101];//將 n劃分成若干奇整數之和的劃分 
int d5[101][101];//將 n劃分成若干不同整數之和的劃分 
void divone(){//將 i劃分為最大元素不超過 j的劃分個數 
	int i,j;
	d1[0][0]=1;
	for(i=0;i<101;++i)
	for(j=1;j<101;++j)
	{
		if(i<j)d1[i][j]=d1[i][i];
		else d1[i][j]=d1[i-j][j]+d1[i][j-1];
	}
} 
void divtwo(){//將 i劃分成 j個不同整數之和的劃分 
	int i,j;
	d2[0][0]=1;
	for(i=1;i<=100;++i)
	for(j=1;j<=i;++j)
	d2[i][j]=d2[i-1][j-1]+d2[i-j][j];
}

void divfour(){//將 i劃分成若干奇整數之和的劃分
	int i,j;
	d4[0][0]=1;
	for(i=0;i<101;++i)
	for(j=1;j<101;++j)
	{
		if(j&1){
			if(j>i)d4[i][j]=d4[i][i];
			else d4[i][j]=d4[i-j][j]+d4[i][j-1];
		}
		else d4[i][j]=d4[i][j-1];
	}
}
void divfive(){//將 i劃分成若干不同整數之和的劃分
	int i,j;
	d5[0][0]=1;
	for(i=0;i<=100;++i)
		for(j=1;j<=100;++j)
		if(j>i)d5[i][j]=d5[i][i];
		else d5[i][j]=d5[i-j][j-1]+d5[i][j-1];//與divone()不同_d5[i-j][j-1] 
}
int main()
{
	int n,k;
	divone();
	divtwo();
	divfour();
	divfive();
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
	{
		printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n",d1[n][n],d2[n][k],d1[n][k],d4[n][n],d5[n][n]);
	}
}

NYOJ746整數劃分（四）

時間限制：1000 ms  |  記憶體限制：65535 KB

難度：3

描述

       暑假來了，hrdv 又要留學校在參加ACM集訓了，集訓的生活非常Happy（ps：你懂得），可是他最近遇到了一個難題，讓他百思不得其解，他非常鬱悶。。親愛的你能幫幫他嗎？

      問題是我們經常見到的整數劃分，給出兩個整數 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 個乘號，將n分成m段，求出這m段的最大乘積

輸入

第一行是一個整數T，表示有T組測試資料接下來T行，每行有兩個正整數 n，m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位數)；

輸出

輸出每組測試樣例結果為一個整數佔一行

樣例輸入

2

111 2

1111 2

樣例輸出

11

121

程式碼如下：

//先用兩重迴圈計算a[i][j],表示i到j這段子串的數值，dp[i][j]表示到i的這個字首子串分為j部分的乘積的最大值，

//則有dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]),注意j-2<=k<i; 

#include<stdio.h>
#define LL long long
#include<cstring> 
#include<algorithm>
using namespace std;
char s[25];
LL a[25][25];
LL dp[25][25];

int main()
{
	int t,m,i,j,k;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%s%d",s,&m);
		int len=strlen(s);
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=0;i<len;i++)
		{
			a[i][i]=s[i]-'0';
			for(j=i+1;j<len;j++)
			{
				a[i][j]=a[i][j-1]*10+(LL)(s[j]-'0');
			}
		}
		for(i=0;i<len;i++)
		{
			dp[i][1]=a[0][i];
			for(j=2;j<=m;j++)
			{
				for(k=j-2;k<i;k++)
				{
					dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]);
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",dp[len-1][m]);
	}
	return 0;
}