描述

將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。

輸入

標準的輸入包含若干組測試資料。每組測試資料是一行輸入資料,包括兩個整數N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

輸出

對於每組測試資料，輸出以下三行資料:
第一行: N劃分成K個正整數之和的劃分數目
第二行: N劃分成若干個不同正整數之和的劃分數目
第三行: N劃分成若干個奇正整數之和的劃分數目

樣例輸入

5 2

樣例輸出

2
3
3

提示
第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

分析

整數劃分問題這幾個變形確實很經典，需要一個個說明下：
設dp[n][m]表示數n劃分方案中，每個數 不大於m 的劃分數。

N劃分成若干個可相同正整數之和

劃分分兩種情況：

• 劃分中每個數都小於m：則劃分數為dp[n][m-1]。
• 劃分中至少有一個數等於m：則從n中減去去m，然後從n-m中再劃分，則劃分數為dp[n-m][m]。

動態轉移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]。

N劃分成若干個不同正整數之和

劃分分兩種情況：

• 劃分中每個數都小於m：則劃分數為dp[n][m-1]。
• 劃分中至少有一個數等於m：則從n中減去m，然後從n-m中再劃分，且再劃分的數中每個數要小於m, 則劃分數為dp[n-m][m-1]。

動態轉移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]。

N劃分成K個正整數之和

設dp[n][k]表示數n劃分成k個正整數之和時的劃分數。
劃分分兩種情況：

• 劃分中不包含1：則要求每個數都大於1，可以先拿出k個1分到每一份，之後在n-k中再劃分k份，即dp[n-k][k]。
• 劃分中包含1：則從n中減去1，然後從n-1中再劃分k-1份, 則劃分數為dp[n-1][k-1]。

動態轉移方程：dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]。

N劃分成若干個奇正整數之和

設f[i][j]表示將數i分成j個正奇數，g[i][j]表示將數i分成j個正偶數。
首先如果先給j個劃分每個分個1，因為奇數加1即為偶數，所以可得：
f[i-j][j] = g[i][j]。
劃分分兩種情況：

• 劃分中不包含1：則要求每個數都大於1，可以先拿出k個1分到每一份，剛可將問題轉換為”從i-j中劃分j個偶數”，即g[i-j][j]。
• 劃分中包含1：則從n中減去1，然後從n-1中再劃分k-1份, 則劃分數為dp[n-1][k-1]。

動態轉移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

實現

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 51
int dp1[N][N];    //N劃分成K個正整數之和的劃分數目。
int dp2[N][N];    //N劃分成若干個不同正整數之和的劃分數目。
int dp3[N][N];    //N劃分成若干個可相同的正整數之和的劃分數目。
int f[N][N];      //N劃分成K個奇正整數之和的劃分數目。
int g[N][N];      //N劃分成K個偶正整數之和的劃分數目。

void initDivideInt() {
    memset(dp1, 0, sizeof(dp1));  //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]
    memset(dp2, 0, sizeof(dp2));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]
    memset(dp3, 0, sizeof(dp3));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]

    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 1; j < N; j++) {
            if (i < j) {
                dp1[i][j] = 0;
                dp2[i][j] = dp2[i][i];
                dp3[i][j] = dp3[i][i];
            }
            else if (i == j) {
                dp1[i][j] = 1;
                dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1;
                dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1;
            }
            else {
                dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1];
                dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];
                dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j];
            }
        }
    }
}

//f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
void initDivideOdd() {
    f[0][0] = 1;
    g[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            g[i][j] = f[i - j][j];
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
        }
    }
}

int main() {
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, k;
    initDivideInt();
    initDivideOdd();
    while (cin >> n >> k) {
        cout << dp1[n][k] << endl;
        cout << dp2[n][n] << endl;

        int sum = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            sum += f[n][i];
        }
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}