在介紹SG函式和SG定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.

必勝點和必敗點的概念：        P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。        N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。 必勝點和必敗點的性質：         1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）         2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。         3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。 我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以

hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例： 當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了 當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點 當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點 當 n = 3 時，要麼就是剩一張要麼剩兩張，無論怎麼取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。 以此類推，最後你就可以得到；       n    ：   0    1    2    3    4   5    6 ... position：  P    N   N    P   N   N   P ... 你發現了什麼沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。

        現在我們就來介紹今天的主角吧。組合遊戲的和通常是很複雜的，但是有一種新工具，可以使組合問題變得簡單————SG函式和SG定理。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

        遊戲和的SG函式等於各個遊戲SG函式的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函式滿足 SG(x) = x。對博弈不是很清楚的請參照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html進行進一步理解。

SG函式：

        首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那麼SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函式的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。

【例項】取石子問題

有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的SG值為多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩餘{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩餘{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 時，可以取走4-  f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此類推.....

   x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述例項我們就可以得到SG函式值求解步驟，那麼計算1~n的SG函式值步驟如下：

1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。

2、然後我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的後繼狀態標記。

3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。

4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函式值。

程式碼實現如下：

 1 //f[N]:可改變當前狀態的方式，N為方式的種類，f[N]要在getSG之前先預處理
 2 //SG[]:0~n的SG函式值
 3 //S[]:為x後繼狀態的集合
 4 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
 5 void  getSG(int n){
 6     int i,j;
 7     memset(SG,0,sizeof(SG));
 8     //因為SG[0]始終等於0，所以i從1開始
 9     for(i = 1; i <= n; i++){
10         //每一次都要將上一狀態 的 後繼集合 重置
11         memset(S,0,sizeof(S));
12         for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
13             S[SG[i-f[j]]] = 1;  //將後繼狀態的SG函式值進行標記
14         for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查詢當前後繼狀態SG值中最小的非零值
15             SG[i] = j;
16             break;
17         }
18     }
19 }

現在我們來一個實戰演練（題目連結）：

       只要按照上面的思路，解決這個就是分分鐘的問題。

程式碼如下：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #define MAXN 1000 + 10
 4 #define N 20
 5 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
 6 void getSG(int n){
 7     int i,j;
 8     memset(SG,0,sizeof(SG));
 9     for(i = 1; i <= n; i++){
10         memset(S,0,sizeof(S));
11         for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
12             S[SG[i-f[j]]] = 1;
13         for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
14             SG[i] = j;
15             break;
16         }
17     }
18 }
19 int main(){
20     int n,m,k;
21     f[0] = f[1] = 1;
22     for(int i = 2; i <= 16; i++)
23         f[i] = f[i-1] + f[i-2];
24     getSG(1000);
25     while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
26         if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
27         else printf("Nacci\n");
28     }
29     return 0;
30 }

大家是不是還沒有過癮，那我就在給大家附上一些組合博弈的題目：

POJ 2234 Matches Game
HOJ 4388 Stone Game II

POJ 2975 Nim
HOJ 1367 A Stone Game
POJ 2505 A multiplication game
ZJU 3057 beans game
POJ 1067 取石子游戲
POJ 2484 A Funny Game
POJ 2425 A Chess Game
POJ 2960 S-Nim
POJ 1704 Georgia and Bob
POJ 1740 A New Stone Game
POJ 2068 Nim
POJ 3480 John
POJ 2348 Euclid's Game
HOJ 2645 WNim
POJ 3710 Christmas Game 
POJ 3533 Light Switching Game