凸多邊形三角劃分

在一個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f（6）=14。 分析 如果純粹從f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去歸納，恐怕很難找到問題的遞推式，我們必須從一般情況出發去找規律。 因為凸多邊形的任意一條邊必定屬於某一個三角形，所以我們以某一條邊為基準，以這條邊的兩個頂點為起點P1和終點Pn（P即Point），將該凸多邊形的頂點依序標記為P1、P2、……、Pn，再在該凸多邊形中找任意一個不屬於這兩個點的頂點Pk（2<=k<=n-1），來構成一個三角形，用這個三角形把一個凸多邊形劃分成兩個凸多邊形，其中一個凸多邊形，是由P1，P2，……，Pk構成的凸k邊形（頂點數即是邊數），另一個凸多邊形，是由Pk，Pk+1，……，Pn構成的凸n-k+1邊形。 此時，我們若把Pk視為確定一點，那麼根據

乘法原理，f（n）的問題就等價於——凸k多邊形的劃分方案數乘以凸n-k+1多邊形的劃分方案數，即選擇Pk這個頂點的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以選2到n-1，所以再根據加法原理，將k取不同值的劃分方案相加，得到的總方案數為：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。 最後，令f（2）=1，f（3）=1。 此處f（2）=1和f（3）=1的具體緣由須參考詳盡的“卡特蘭數”，也許可從凸四邊形f（4）=f（2）f（3）+ f（3）f（2）=2×f（2）f（3）倒推，四邊形的劃分方案不用規律推導都可以知道是2，那麼2×f（2）f（3）=2，則f（2）f（3）=1，又f（2）和f（3）若存在的話一定是整數，則f（2）=1，f（3）=1。 類似問題 一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？ 在

圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？

給定節點組成二叉搜尋樹

給定N個節點，能構成多少種不同的二叉搜尋樹？ （能構成h（N）個） （這個公式的下標是從h(0)=1開始的）