前言：

    決策樹這種演算法有著很多良好的特性，比如說訓練時間複雜度較低，預測的過程比較快速，模型容易展示（容易將得到的決策樹做成圖片展示出來）等。但是同時，單決策樹又有一些不好的地方，比如說容易over-fitting，雖然有一些方法，如剪枝可以減少這種情況，但是還是不夠的。

    模型組合（比如說有Boosting，Bagging等）與決策樹相關的演算法比較多，這些演算法最終的結果是生成N(可能會有幾百棵以上）棵樹，這樣可以大大的減少單決策樹帶來的毛病，有點類似於三個臭皮匠等於一個諸葛亮的做法，雖然這幾百棵決策樹中的每一棵都很簡單（相對於C4.5這種單決策樹來說），但是他們組合起來確是很強大。

    在最近幾年的paper上，如iccv這種重量級的會議，iccv 09年的裡面有不少的文章都是與Boosting與隨機森林相關的。模型組合+決策樹相關的演算法有兩種比較基本的形式 - 隨機森林與GBDT((Gradient Boost Decision Tree)，其他的比較新的模型組合+決策樹的演算法都是來自這兩種演算法的延伸。本文主要側重於GBDT，對於隨機森林只是大概提提，因為它相對比較簡單。

    在看本文之前，建議先看看機器學習與數學(3)與其中引用的論文，本文中的GBDT主要基於此，而隨機森林相對比較獨立。

基礎內容：

    這裡只是準備簡單談談基礎的內容，主要參考一下別人的文章，對於隨機森林與GBDT，有兩個地方比較重要，首先是information gain，其次是決策樹。這裡特別推薦Andrew Moore大牛的

    決策樹實際上是將空間用超平面進行劃分的一種方法，每次分割的時候，都將當前的空間一分為二，比如說下面的決策樹：

    就是將空間劃分成下面的樣子：

    這樣使得每一個葉子節點都是在空間中的一個不相交的區域，在進行決策的時候，會根據輸入樣本每一維feature的值，一步一步往下，最後使得樣本落入N個區域中的一個（假設有N個葉子節點）

隨機森林(Random Forest):

    隨機森林是一個最近比較火的演算法，它有很多的優點：

•     在資料集上表現良好
•     在當前的很多資料集上，相對其他演算法有著很大的優勢
•     它能夠處理很高維度（feature很多）的資料，並且不用做特徵選擇
•     在訓練完後，它能夠給出哪些feature比較重要
•     在建立隨機森林的時候，對generlization error使用的是無偏估計
•     訓練速度快
•     在訓練過程中，能夠檢測到feature間的互相影響
•     容易做成並行化方法
•     實現比較簡單

    隨機森林顧名思義，是用隨機的方式建立一個森林，森林裡面有很多的決策樹組成，隨機森林的每一棵決策樹之間是沒有關聯的。在得到森林之後，當有一個新的輸入樣本進入的時候，就讓森林中的每一棵決策樹分別進行一下判斷，看看這個樣本應該屬於哪一類（對於分類演算法），然後看看哪一類被選擇最多，就預測這個樣本為那一類。

    在建立每一棵決策樹的過程中，有兩點需要注意 - 取樣與完全分裂。首先是兩個隨機取樣的過程，random forest對輸入的資料要進行行、列的取樣。對於行取樣，採用有放回的方式，也就是在取樣得到的樣本集合中，可能有重複的樣本。假設輸入樣本為N個，那麼取樣的樣本也為N個。這樣使得在訓練的時候，每一棵樹的輸入樣本都不是全部的樣本，使得相對不容易出現over-fitting。然後進行列取樣，從M個feature中，選擇m個(m << M)。之後就是對取樣之後的資料使用完全分裂的方式建立出決策樹，這樣決策樹的某一個葉子節點要麼是無法繼續分裂的，要麼裡面的所有樣本的都是指向的同一個分類。一般很多的決策樹演算法都一個重要的步驟 - 剪枝，但是這裡不這樣幹，由於之前的兩個隨機取樣的過程保證了隨機性，所以就算不剪枝，也不會出現over-fitting。

    按這種演算法得到的隨機森林中的每一棵都是很弱的，但是大家組合起來就很厲害了。我覺得可以這樣比喻隨機森林演算法：每一棵決策樹就是一個精通於某一個窄領域的專家（因為我們從M個feature中選擇m讓每一棵決策樹進行學習），這樣在隨機森林中就有了很多個精通不同領域的專家，對一個新的問題（新的輸入資料），可以用不同的角度去看待它，最終由各個專家，投票得到結果。

。這個頁面上寫的比較清楚了，其中可能不明白的就是Information Gain，可以看看之前推薦過的Moore的頁面。

Gradient Boost Decision Tree:

   GBDT是一個應用很廣泛的演算法，可以用來做分類、迴歸。在很多的資料上都有不錯的效果。GBDT這個演算法還有一些其他的名字，比如說MART(Multiple Additive Regression Tree)，GBRT(Gradient Boost Regression Tree)，Tree Net等，其實它們都是一個東西（參考自wikipedia – Gradient Boosting)，發明者是Friedman

   Gradient Boost其實是一個框架，裡面可以套入很多不同的演算法，可以參考一下機器學習與數學(3)中的講解。Boost是"提升"的意思，一般Boosting演算法都是一個迭代的過程，每一次新的訓練都是為了改進上一次的結果。

   原始的Boost演算法是在演算法開始的時候，為每一個樣本賦上一個權重值，初始的時候，大家都是一樣重要的。在每一步訓練中得到的模型，會使得資料點的估計有對有錯，我們就在每一步結束後，增加分錯的點的權重，減少分對的點的權重，這樣使得某些點如果老是被分錯，那麼就會被“嚴重關注”，也就被賦上一個很高的權重。然後等進行了N次迭代（由使用者指定），將會得到N個簡單的分類器（basic learner），然後我們將它們組合起來（比如說可以對它們進行加權、或者讓它們進行投票等），得到一個最終的模型。

   而Gradient Boost與傳統的Boost的區別是，每一次的計算是為了減少上一次的殘差(residual)，而為了消除殘差，我們可以在殘差減少的梯度(Gradient)方向上建立一個新的模型。所以說，在Gradient Boost中，每個新的模型的簡歷是為了使得之前模型的殘差往梯度方向減少，與傳統Boost對正確、錯誤的樣本進行加權有著很大的區別。

   在分類問題中，有一個很重要的內容叫做Multi-Class Logistic，也就是多分類的Logistic問題，它適用於那些類別數>2的問題，並且在分類結果中，樣本x不是一定只屬於某一個類可以得到樣本x分別屬於多個類的概率（也可以說樣本x的估計y符合某一個幾何分佈），這實際上是屬於Generalized Linear Model中討論的內容，這裡就先不談了，以後有機會再用一個專門的章節去做吧。這裡就用一個結論：如果一個分類問題符合幾何分佈，那麼就可以用Logistic變換來進行之後的運算。

   假設對於一個樣本x，它可能屬於K個分類，其估計值分別為F1(x)…FK(x)，Logistic變換如下，logistic變換是一個平滑且將資料規範化（使得向量的長度為1）的過程，結果為屬於類別k的概率pk(x)，

   對於Logistic變換後的結果，損失函式為：

    其中，yk為輸入的樣本資料的估計值，當一個樣本x屬於類別k時，yk = 1，否則yk = 0。

    將Logistic變換的式子帶入損失函式，並且對其求導，可以得到損失函式的梯度：

    上面說的比較抽象，下面舉個例子：

    假設輸入資料x可能屬於5個分類（分別為1,2,3,4,5），訓練資料中，x屬於類別3，則y = (0, 0, 1, 0, 0)，假設模型估計得到的F(x) = (0, 0.3, 0.6, 0, 0)，則經過Logistic變換後的資料p(x) = (0.16,0.21,0.29,0.16,0.16)，y - p得到梯度g：(-0.16, -0.21, 0.71, -0.16, -0.16)。觀察這裡可以得到一個比較有意思的結論：

    假設gk為樣本當某一維（某一個分類）上的梯度:

    gk>0時，越大表示其在這一維上的概率p(x)越應該提高，比如說上面的第三維的概率為0.29，就應該提高，屬於應該往“正確的方向”前進

                  越小表示這個估計越“準確”

    gk<0時，越小，負得越多表示在這一維上的概率應該降低，比如說第二維0.21就應該得到降低。屬於應該朝著“錯誤的反方向”前進

                  越大，負得越少表示這個估計越“不錯誤 ”

    總的來說，對於一個樣本，最理想的梯度是越接近0的梯度。所以，我們要能夠讓函式的估計值能夠使得梯度往反方向移動（>0的維度上，往負方向移動，<0的維度上，往正方向移動）最終使得梯度儘量=0），並且該演算法在會嚴重關注那些梯度比較大的樣本，跟Boost的意思類似。

    得到梯度之後，就是如何讓梯度減少了。這裡是用的一個迭代+決策樹的方法，當初始化的時候，隨便給出一個估計函式F(x)（可以讓F(x)是一個隨機的值，也可以讓F(x)=0），然後之後每迭代一步就根據當前每一個樣本的梯度的情況，建立一棵決策樹。就讓函式往梯度的反方向前進，最終使得迭代N步後，梯度越小。

    這裡建立的決策樹和普通的決策樹不太一樣，首先，這個決策樹是一個葉子節點數J固定的，當生成了J個節點後，就不再生成新的節點了。

    演算法的流程如下:（參考自treeBoost論文）

     0. 表示給定一個初始值

     1. 表示建立M棵決策樹（迭代M次）

     2. 表示對函式估計值F(x)進行Logistic變換

     3. 表示對於K個分類進行下面的操作（其實這個for迴圈也可以理解為向量的操作，每一個樣本點xi都對應了K種可能的分類yi，所以yi, F(xi), p(xi)都是一個K維的向量，這樣或許容易理解一點）

     4. 表示求得殘差減少的梯度方向

     5. 表示根據每一個樣本點x，與其殘差減少的梯度方向，得到一棵由J個葉子節點組成的決策樹

     6. 為當決策樹建立完成後，通過這個公式，可以得到每一個葉子節點的增益（這個增益在預測的時候用的）

       每個增益的組成其實也是一個K維的向量，表示如果在決策樹預測的過程中，如果某一個樣本點掉入了這個葉子節點，則其對應的K個分類的值是多少。比如說，GBDT得到了三棵決策樹，一個樣本點在預測的時候，也會掉入3個葉子節點上，其增益分別為（假設為3分類的問題）：

       (0.5, 0.8, 0.1),  (0.2, 0.6, 0.3),  (0.4, 0.3, 0.3)，那麼這樣最終得到的分類為第二個，因為選擇分類2的決策樹是最多的。

     7. 的意思為，將當前得到的決策樹與之前的那些決策樹合併起來，作為新的一個模型(跟6中所舉的例子差不多)

     GBDT的演算法大概就講到這裡了，希望能夠彌補一下上一篇文章中沒有說清楚的部分：）

實現：

     看明白了演算法，就需要去實現一下，或者看看別人實現的程式碼，這裡推薦一下wikipedia中的gradient boosting頁面，下面就有一些開源軟體中的一些實現，比如說下面這個：http://elf-project.sourceforge.net/

參考資料：

     除了文章中的引用的內容（已經給出了連結）外，主要還是參考Friedman大牛的文章：Greedy function approximation : A Gradient Boosting Machine