關於Opengl各種矩陣變換的理解

OpenGL的矩陣變換一直比較迷糊，貌似懂了又貌似不懂，今天貌似懂了過幾天又貌似忘記怎麼回事了，還是沒有理解透徹，因此痛下決心，一定要把這個事情弄懂。經過幾天的反覆思考檢視資料，我自己理解的結果就是：mv用來調整相機位置組成一個新座標系，p用來在這個座標系裡面切出一塊來變成-1，1之間的立方體顯示，w用來把這個-1，1的立方體轉到指定的視口上。如果這個不夠透徹，請看下面的詳細解釋。

一、相機模擬過程

首先是用相機模擬說明openGL的投影原理。下面這個圖應該是把原理解釋得比較透徹的一個了。

第一步，將相機置於三角架上，讓它對準三維景物（視點變換，Viewing Transformation，對應openGL是glLookAt，從哪裡看？）。

第二步，將三維物體放在適當的位置（模型變換，Modeling Transformation，對應openGL是各種transform/scal/rotate，比如物體移動旋轉縮放等。）。

第三步，選擇相機鏡頭並調焦，使三維物體投影在二維膠片上（投影變換，Projection Transformation，對應openGL就是gluPerspective/glOrtho等）。

第四步，決定二維像片的大小（視口變換，Viewport Transformation

這樣，一個三維空間裡的物體就可以用相應的二維平面物體表示了，也就能在二維的電腦螢幕上正確顯示了。

二、數字顯示原理

我們建模是3D的，使用各種座標系，如世界座標系，使用者座標系等等。螢幕則是2D的，一般都是0-1024，0-768之類的範圍。為了使顯示的物體能以合適的位置、大小和方向顯示出來，必須要通過投影。投影的方法有兩種，即正射投影和透視投影。　　有時為了突出圖形的一部分，只把圖形的某一部分顯示出來，這時可以定義一個三維視景體（Viewing Volume）。正射投影時一般是一個長方體的視景體，透視投影時一般是一個稜臺似的視景體。只有視景體內的物體能被投影在顯示平面上，其他部分則不能。在螢幕視窗內可以定義一個矩形，稱為視口（

下面的圖則是openGL實際上執行的過程。

通俗一點，世界座標系有一個100，100，100的點；用某個相機lookAt後，變成了一個50，100，50的點（相機座標系中）；用了某個投影矩陣投影后，變成了一個0.5，0.7，0的點，這是投影到平面並且歸一化到-1，1區間的結果；設定了視口後，變成了一個500，700的點，這是螢幕座標系了；和視口Y座標減一下以後變成了500，68的點，這是螢幕畫素物理座標了（從上往下數68畫素）。

三、逐個步驟理解

OpenGL裡面，這些步驟總結下來，其實就是3個矩陣變換，合起來叫VPW矩陣。理解：V表示相機的觀察（view）矩陣；P是投影（Project）矩陣，W是視窗（Window）矩陣，其實叫MVPW矩陣更好，是modelview * projection * window三個矩陣的級聯。Model矩陣其實就是使用者定義座標系轉成世界座標系才需要用。

1、View

V表示觀察矩陣（view），對應opengl是glLookat，作用是把世界座標系轉成相機座標系。比如世界座標系100，100的點，在某個相機觀察的時候，因為相機點要變成原點，所以可能就變成了50，50，glLootAt引數是一個相機點，一個目標點（這兩個點確定Z軸），一個向上的向量（確定X軸），這三個顯然就可以確定一個座標系，等於是把世界座標系轉成相機的UCS座標系，舉例來說，CAD裡面平移操作就是移動了相機，透視圖裡面走動也相當於移動了相機。這時候沒有進行任何裁剪。

2、Project

P表示投影矩陣（project），有兩種：透視投影，和正交投影。主要用途就是從視覺座標系中裁剪一塊立體區域，變換到一個-1，1的正方體中方便裁剪（因為視錐體裁剪很不方便），最後去掉Z座標落到螢幕平面上。透視投影是裁剪一個錐臺區域，正交投影是裁剪一個長方體區域。這些投影函式的引數就需要注意了，不是世界座標系的引數哦。因為預設情況下lookat是從0，0點向下看，視覺座標情況和世界座標系相當，所以不用glulookat的時候設定投影函式是可以用世界座標系座標的；如果設定了視覺座標系，那麼就不一樣了。

透視投影矩陣相當於變換相機焦距，焦距小範圍就大，能看近物，類似廣角；焦距大範圍就小，但是遠處的能過來，類似長焦。對應opengl就是gluPerspectiv/glFrustum 函式，。兩個函式中，glFrustum更正規，功能更強，但是也更不好用一點（需要自己計算寬高比，通過剪切面寬高和近裁剪面距離的三角關係計算視角多少）；

void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far)，建議用gluPerspective。

gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear,GLdouble zFar)。

fovy,這個最難理解,我的理解是,眼睛睜開的角度,即,視角的大小,如果設定為0,相當你閉上眼睛了,所以什麼也看不到,如果為180,那麼可以認為你的視界很廣闊.這應該和焦距對應，視角小就是焦距大（長焦），視角大就是焦距小（廣角）。對應glFrustum，就是near設成0.01，left/right設定成1之類，趨近於90度了。

aspect,這個好理解,就是實際視窗的縱橫比,即x/y

zNear,這個呢,表示你近處,的裁面,

zFar表示遠處的裁面,正交投影則用於2D圖形，圖形不會像透視那樣有變形。

glOrtho是正交投影，引數為glOrtho(left, right, bottom, top, near, far)， left表示視景體左面的座標，right表示右面的座標，bottom表示下面的，top表示上面的。這個函式簡單理解起來，就是一個物體擺在那裡，你怎麼去擷取他。如果擷取範圍大，物體在整個範圍內的比例就小，相當於縮小；擷取範圍小，物體佔據比例就大，相當於放大。然後擷取範圍偏，物體相當於在整個範圍內就偏了，相當於平移。這個擷取體需要和視窗範圍比例一致，否則就會變形。因為不管是透視投影還是正交投影，它們的結果都是把你指定的一定範圍內的圖形單位化成了-1，1之間的值。

當然這裡還需要再次強調，glOrtho和gluPerspect函式，使用的範圍，都是基於gluLookAt的，並不是世界座標裡面的範圍。

我們假設物體的繪製函式是

glBegin(GL_TRIANGLES);

glVertex3f(100,300,600);

glVertex3f(300,100,400);

glVertex3f(100,100,600);

glEnd();

究竟應該如何用這兩個函式設定投影？

最簡單的設定方法是glOrtho(-200,200,-200,200,-500,500);

gluLookAt(300,300,600,200,200,5000,1,0);  

可以看到，glOrtho的引數顯然不是絕對的世界座標，而是lookAt出來的座標系裡面的座標。

3、Window

W表示視口矩陣（window），對應opengl就是glviewport。因為螢幕有大小，最後-1，1的之間裁剪結果總要映射回螢幕才行，glViewport就是告訴螢幕多大，怎麼映射回去。如果這個和投影時使用的比例不一致，就是變形。gluProject可以直接完成這幾個變換（直接把物體的世界座標系的點變成螢幕上的座標點，當然Y值還需要掉轉，因為OpenGL座標系和視窗座標系不一致）。

再回顧一下一下opengl四種座標變換的含義。模型變換：用於調整物體的大小、位置，模型邊換之後得到的物體座標是相對於全域性座標系統（世界座標系）的。檢視變換（V）：用於設定相機的位置、相機軸線的方向以及拍攝的方向。模型變換和檢視變換統稱為模型檢視變換（modelview），經過模型檢視變換之後的座標是視覺系統內的座標，其實是模型相對於相機的座標，因為這裡是模型和檢視的一種相對關係，因此模型變換和檢視變換具有一定的等價性和可轉換性。

接著是投影變換（P），投影變換的效果是建立一個裁剪用的視景體（錐臺體或者長方體），投影位於其中的物體，對視景體外的物體部分進行截斷，投影變換之後的座標反應的是物體在視景體內的位置屬性，比如同樣大小的面（在全域性座標系統中），透視投影時靠近視景體前端的佔其相對應的截面的比例更大，因此在變換後的面積也更大。正視投影（OrthoView）時就還是同樣大小的一個區域了。最後是視口變換，其作用是將確定最終影象的大小，並將幀緩衝區域內的資料轉變為能顯示在螢幕上的畫素。

由於變換是通過左乘矩陣完成的，因此實際座標變換的順序和程式碼中出現的順序是相反的。一般先設定模型檢視變換，再設定投影變換，最後是視口變換，並且由於改變視窗只對投影和視口變換有影響，因此常將這兩種變換放在reshape函式裡。

三、來點實際的

說一千道一萬，不實際嘗試總不能確定的。主要是弄清楚這幾個矩陣和變換之間的情況。下面就是一些實際操作的結果（使用osg）。

首先是第一個，初始情況：

弄了一個-5000，-5000開始的座標網，及一個0，0到10000，10000的矩形。我直接用了一個投影矩陣，其他什麼都沒有（視覺矩陣為單位陣，視窗矩陣視口設定就不變了）：

camera->setProjectionMatrixAsOrtho2D(-15000,15000,-15000*scale,15000*scale);

下面這個設定是這樣的，沒有對投影進行和視窗寬高比的處理，顯然就變形了：camera->setProjectionMatrixAsOrtho2D(-15000,15000,-15000,15000);//變形?

下面這個呢，是設定了下面的引數（縮小了10倍），可以看到，只是裁剪了一小塊區域了。

camera->setProjectionMatrixAsOrtho2D(-1500,1500,-1500*scale,1500*scale);//放大了？

下面這個增加了一個lookAt函式，等於以前的圖都是視覺座標系和世界座標系重合，這個呢，視覺座標系原點移到了5000，5000的位置，整個圖形就顯得偏了。偏下來了。證明投影時用的是視覺座標系的點。

camera->setViewMatrixAsLookAt(osg::Vec3(5000,5000,1),osg::Vec3(5000,5000,0),osg::Vec3(0,1,0));

camera->setProjectionMatrixAsOrtho2D(-15000,15000,-15000*scale,15000*scale);//移位