概述

定積分是某種確定形式的和的極限

這種和的極限的概念推廣到定義在區域、曲線及曲面上的多元函式的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念

本章將介紹重積分（包括二重積分和三重積分）的概念、計算方法以及一些應用

本章包括二重積分的概念與性質、二重積分的計演算法、三重積分、重積分的應用、含參變數的積分

1、二重積分的概念與性質

二重積分的概念

曲頂柱體的體積和平面薄片的質量的計算

為了簡便起見，本章以後除特別說明者外，都假定平面閉區域和空間閉區域是有界的，且平面閉區域有有限面積，空間閉區域有有限體積

一般來說，被積函式在該區間內必須是連續的（要想二重積分存在的話）

一個閉區域的直徑是指區域上任意兩點間距離的最大者

• 二重積分的定義：∬Df(x,y)dσ=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$，這個和的極限總存在，且與閉區域D的分法即點(ξi,ηi)$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法無關。f(x,y)$f(x,y)$叫做被積函式，f(x,y)dσ$f(x,y)d\sigma$叫做被積表示式，dσ$d\sigma$叫做面積元素，x和y$x和y$叫做積分變數，D$D$叫做積分割槽域，∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$叫做積分和

如果在直角座標系中用平行於座標軸的直線網來劃分D，那麼除了包含邊界點的一些小閉區域外（在求和的極限時，這些小閉區域所對應的項的和的極限為零，因此這些小閉區域可以略去不計），其餘的小閉區域都是矩形閉區域

當函式f(x,y)$f(x,y)$在閉區域D$D$上連續時，和的極限必定存在，即二重積分必定存在

注意被積函式值的正負對於二重積分幾何意義的影響

二重積分的性質

• 性質1：常數可移到積分號外且可分別積分
• 性質2：對於積分割槽域的可加性
• 性質3：
• 性質4：
• 性質5：
• 性質6（二重積分的中值定理）：

2、二重積分的計演算法

按照二重積分的定義來計算二重積分，這對於一般的函式和區域來說不是一種切實可行的方法

總的來說，二重積分切實可行的計算方法是：將二重積分化為二次積分

利用直角座標計算二重積分

一般來說，X型積分割槽域可用不等式

二重積分的先對y、後對x的二次積分的公式如下：

一般來說，Y型積分割槽域可用不等式