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[方差+lucas定理] 51nod 演算法馬拉松25 D. 小Q的集合

阿新 • • 發佈：2019-01-31

題意

小Q有一個集合 S ，它的元素個數 |S|=n 。
對於 S 的任意一個子集合 T ，定義 f(T)=|T|k ，定義 T 關於 S 的補集為 S−T 。
小Q想知道，如果他等概率地選擇一個 S 的子集 T ，那麼 f(T)−f(S−T) 的方差是多少。
由於這個方差值可能很大，不妨設其為 v ，你只需要給出 (v⋅2n)%m 的值即可。
k ≤ n ≤ 10^(10^6) , 1 ≤ k ≤ 10^6，其中m是質數，滿足2 ≤ m ≤ 10^6。

題解

方差的定義：E[(x−E(x))2] ，根據期望線性性質可化簡為E(x2)−E(x)2
注意到E(x)恆為0，所以我們只需要計算(

E(x2)∗2n)%m 即可。
E(x2)∗2n=∑ni=0(ni)∗(ik−(n−i)k)2
注意到n很大，肯定不能直接求。
注意到右邊的(ik−(n−i)k)2 模m是迴圈的。但是前面還有一個組合數。
這裡要用到lucas定理：(nm)=(n%Pm%P)∗(⌊n/P⌋⌊m/P⌋)(modP)
這個定理比較適合模數小的問題。
對於i mod m相同的每一組，(n%Pi%P)都是相同的。
按這個思路，可得
E(x2)∗2n
=∑⌊n/m⌋i=0∑n%mj=0(ni∗m+j)∗((i∗m+j)k−(n−(i∗m+j))k)2
=∑⌊n/m⌋i=0∑n%mj=0(⌊n/m⌋i)∗(n%mj)∗((
i∗m+j)k−(n−(i∗m+j))k)2
=∑⌊n/m⌋i=0(⌊n/m⌋i)∑n%mj=0(n%mj)∗(jk−(n−j)k)2
內層那個sigma就和i無關了，每次都是一樣的，所以
=2⌊n/m⌋∑n%mj=0(n%mj)∗(jk−(n−j)k)2
直接求即可。

這題怎麼卡常啊，半天才過……

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