By  WC 1.9 .2015

1.Hessian矩陣
其定義如下：

如果函式f在D區域內二階連續可導，那麼黑塞矩陣H(f) 在 D 內為對稱矩陣。原因是：如果函式f連續，則二階偏導數的求導順序沒有區別，即

如果該函式的駐點處Hessian陣為正定陣，則在該點取為極小值；如果該函式的駐點處Hessian陣為負定陣，則在該點取為極大值；如果該函式的駐點處Hessian陣為不定陣，則在該點不是極值點。

附錄：
駐點：使下式成立的點

正定陣的判定：
判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。
特徵值：，這裡的為特徵值
判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。
順序主子式：對一個三階（3x3）矩陣
a b c
d e f
g h i
一階順序主子式
a
二階順序主子式
a b
d e
三階順序主子式
a b c
d e f
g h i
其他階的與此3階類似
判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣E

2.Matlab實現
eg：求多元函式f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x
求得駐點為：（1,0），（1,2），（-3,0），（-3,2）
在求Hessian陣

其圖形為：


MATLAB程式見如下所示：

clear,clc;close all;
t=-10:1:10;
[x,y]=meshgrid(t,t);
z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;
surf(x,y,z)
%set(gcf,'unit','normalized'
 
,'position',[0,0,1,1]);
title('王晨繪製')
legend('z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x');
grid on
text(1,0,-5,'極小值');
text(-3,2,31,'極大值');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

2.MATLAB實現該問題（無約束極值問題）

clc,clear
syms x y f    %定義符號物件
f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;
df=jacobian(f);%求雅克比矩陣，即一階偏導數
d2f=jacobian(df);%求Hessian矩陣
[xx,yy]=solve(df); %求駐點
xx=int8(xx);yy=int8(yy);%將符號物件轉化為數值型資料
for i=1:length(xx)
    a=subs(d2f,{x,y},{xx(i),yy(i)}) ; %將xx(i),yy(i)置換x,y帶入d2f中
    b=eig(a) ;%求矩陣的特徵值
    f=subs(f,{x,y},{xx(i),yy(i)}) ;%求駐點處的極值
    f=int8(f);
    if all(b>0)

    fprintf('(%d,%d)是極小值點。極小值為%d \n',xx(i),yy(i),f);
    elseif all(b<0)
    fprintf('(%d, %d)是極大值點，極大值為%d \n',xx(i),yy(i),f);
    else
    fprintf('(%d, %d)不是極值點 \n',xx(i),yy(i));
    end
end