放回取樣

用CR(m , r) 表示放回取樣或者重複取樣時一個m集合的r組合的數量，例如在允許放回取樣的情況下，集合{a , b}的4個元素的組合可以得到下面的結果：

{a,a,a,a}, {b,b,b,b},

{a,a,a,b}, {a,a,b,b}, {a,b,b,b}

下面我們給出可放回取樣的公式和證明

CR(m , r) = C(m+r-1, r)，上面的例子中，m=2,r=4

如果我們把上面的公式寫成數學方程式，

m個元素用a1, a2, …, am表示，ai != aj ,i!=j

X1+X2+…+Xm = r,其中Xi >=0(i=1,2,,m)，Xi表示ai的個數，r表示取樣的個數

當我們繼續把數學公式轉化為0,1串時，如下

0,0,…0, 1, 0,0,…0, 1, ……. 1, 0,0…

我們用1來分隔0，其中被隔開的0的個數為Xi的值，如果xj=0，那麼第j個被1隔開的位置的0的個數是0；上面0，1排列中0的總個數為r，1的總個數為m-1，

我們從r+m-1個位置中找到m-1個位置存放1,於是有C(m+r-1,m-1)中可能的0,1序列，C(m+r-1,m-1) = C(m+r-1,r)

於是Cr(m,r) =C(m+r-1,r)