給你一個價格n，求在指定使用的硬幣個數範圍內付款的方案數，後面可能給你邊界a,b，也可能不給，不給的話個數是1-n，給一個a就是1-a，給兩個是a-b

直接開二維陣列揹包的話會算重複，比如湊6的話，1、2、3,，2、1、3，3、1、2，一種方案就數了三遍，需加一維限制大小，dp[i][j][k]中用j個硬幣湊成價格i，j個硬幣中最大的硬幣面值最大是k，dp[i][j][k]+=dp[i-k][j-1][t]， 1<=t<=k.但這樣規模會太大

這個題目涉及到一個結論，用不超過j個硬幣湊出面值i的方案種數，是和用面值不超過j的硬幣湊出面值i的方案種數是相同的。說得再數學一點，就是整數i拆分成不超過j個整數的拆分數，是和整數i拆成若干個值不超過j的整數的拆分數是相同的。具體的證明用到了Ferrers影象的性質。

    這樣的話我們就可以取一個二維陣列f[i][j]表示用面值不超過j的硬幣湊出面值i的方案的種數，那麼如果我使用了面值j，對應方案種數就應該加上f[i-j][j]，如果我們不使用面值j，那麼對應的方案種數就應該加上f[i][j-1]。也就是說狀態轉移方程為f[i][j]= f[i-j][j]+ f[i][j-1]。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#define N 310
using namespace std;
long long f[N][N];
int n,a,b;
char s[200];
int main()
{
    int i,j,k,l;
    memset(f,0,sizeof(f));
    /*
    for(i=0;i<=300;i++)
        f[0][i]=1;
    for(i=0;i<=k;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            if(i>=j)
                f[i][j]+=f[i-j][j]; //用j
            f[i][j]+=f[i][j-1];//沒用j
        }
    }
    這樣不對，j比i大的時候，f[i][j]還是0，即每次用了j時f[i][j]加上的情況f[i-j][j]一直是0，少算了，f[i][j]，當i比j小的時候依然有用
    */
f[0][0]=1;
k=300;
    for(i=0;i<=k;i++)
    {
        for(j=1;j<=k;j++)
        {
            if(i>=j)
                f[i][j]+=f[i-j][j]; //用j
            f[i][j]+=f[i][j-1];//沒用j
        }
    }
    while(gets(s)!=NULL)
    {
        a=b=-1;
        sscanf(s,"%d%d%d",&n,&a,&b);
        //sscanf中沒有讀取成功將不會改變原值
        if(a==-1&&b==-1)
            a=1,b=n;
        else if(a!=-1&&b==-1)
            b=a,a=1;
        printf("%lld\n",f[n][b]-f[n][a-1]);
    }
    return 0;
}
 

百度百科

Ferrers影象

影象概念

一個從上而下的n層格子，mi 為第i層的格子數，當mi>=mi+1(i=1,2,,n-1) ，即上層的格子數不少於下層的格子數時，稱之為Ferrers影象。^[1]

影象性質

（1）每一層至少有一個格子；
　　（2）第一行與第一列互換，第二行與第二列互換，…，所得到的圖象仍然是Ferrers圖象，這兩個 Ferrers圖象稱為是一對共軛的Ferrers圖象。

性質（2）

影象應用

（a） 整數n拆分成k個數的和的拆分數，和數n拆分成最大數為k的拆分數相等。因整數n拆分成k個數的和的拆分可用一k行的影象表示。所得的Ferrers影象的共軛影象最上面一行有k個格子。例如：

24=6+6+5+4+3 5個數，最大數為6 再如： 24=5+5+5+4+3+2 6個數，最大數為5 （b） 整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過m的拆分數相等。 理由與（a）類似。 （c） 整數n拆分成互不相同的若干奇數的和的拆分數，和n拆分成自共軛的Ferrers影象的拆分數相等。 設n=(2n1+1)+(2n2+1)+……+2(nk+1)，其中n1>n2>……nk。 構造一個Ferrers影象，其第一行，第一列都是n1+1格，對應於2n1+1，第二行，第二列各n2+1格，對應於2n2+1。依此類推。由此得到的Ferrrers影象是共軛的。反過來也一樣。 例如：17=9+5+3 對應的Ferrers影象為：