奧運會商圈規劃問題

1 問題描述

       2008奧運會期間，在比賽主場館周邊地區需要建設迷你超市（MS）網，以滿足觀眾的購物需求。

       基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分佈基本均衡和商業上盈利。

2 基本假設、名詞約定及符號說明

2.1 基本假設（包含對目標要求的基本理解）

（1）  各場館相互獨立；

（2）  MS分佈均衡是指各商區的MS的數量相等或近似相等；

（3）  各商區內設有兩種大小規模的MS，並且相同規模的MS造價相同；

（4）  各商區的MS的利潤率均相等；

（5）  人們的消費慾望和當前MS的利潤率有關。

2.2 符號說明

2.3 名詞約定

（1）MS的標準容量；

（2）潛在效益：建立MS網點潛在或長遠的收益；

（3）就業效益：建立MS網點在緩解社會就業壓力方面產生的社會效益；

（4）商圈：零售企業進行銷售活動的空間範圍（吸引顧客的範圍）。

3 問題分析與模型準備

       通過分析問題發現，確定每個商區內不同規模的MS的個數是研究的重點（後續將其當做了主要變數來處理），而MS的設定應該滿足以上三個基本條件，同時加分點也可以再多考慮一些其他方面的因素，如：這些MS在解決失業人口再就業問題方面帶來的效益。

       至此，我們可以感覺到該問題可以用目標規劃方法建立問題求解的數學模型。

       進一步分析可知，建立規劃模型需要知道20個商區的人流量分佈，而人流量分佈又可根據問卷調查反映的觀眾在出行、用餐和購物等方面的規律得到，於是就找到了解決問題的思路。

3.1 基本思路

       （1）在滿足最短路原則的條件下，根據調查得到觀眾出行規律，按比例計算不同規模體育館周圍各點的人流量分佈，確定經過各商區的觀眾人次及其平均消費檔次。

       （2）建立以xi、yi為規劃變數的目標規劃模型；

       （3）分析模型求解的結果與實際情況的差別，如發現不妥，則進一步改進模型，使其現實意義更大。

3.2 基本數學表示式的構建

       1.購物要求

       各商區首先應該滿足奧運會期間的購物需求，即一方面為觀眾提供方便的購物環境，另一方面增加商區的收益。用下式描述購物需求關係：

Ni<= xi*a + yi*b <= t*Ni，i = 1,2,3,4…

       xi代表小MS的個數，a代表相應容量；yi與b類似；t表示限制因子。該式的意義是各商區的大小MS所能接納的標準顧客綜合應大於等於該商區的總顧客數，同時也不能太大，以免浪費資源，對商區造成負面影響，故用限制因子t。t值依據經驗確定，一般為t=2.

       2.分佈均衡要求

       這裡的分佈均衡指各商區的MS的個數近似相等，也就是要求20個商區的MS個數的方差儘可能小，其數學表示式為：

min:[xi + yi – [xi + yi]/20(I = 1 ~ 20)]  (i= 1~20)

       3.經濟效益：

       以各商區所有MS的總利潤為研究物件。利潤與總銷售額和利潤率有關，還應考慮各MS得折舊費用。應儘量讓利潤最大，以提高MS的經濟效益，得：

max: profit = 銷售額*利潤率– 造價（含折舊費用）

       4.潛在效益：

       建立任何商業設施都應該考慮當前的收益和潛在的收益，包括顧客對該項服務的滿意程度和因此而引起的長遠收益。這裡統一用潛在效益來描述MS在這方面的社會效益，且這主要由顧客的滿意程度決定。

       顧客的滿意度又主要和MS的利潤率有關，並認為當N= 0時，滿意度最大為1，為此結合顧客的平均消費水平及顧客的消費心理特徵構建瞭如下的潛在收益的表示式：

underlyingbenefit= 2 -…..

       5.就業效益

       當前就業問題已經是比較嚴重的社會問題，如果多設一個MS就會相應增加一些就業機會，從而有助於緩解緊張的就業壓力，但從這個角度講，應該多設定一些MS點，用下式表達所有MS的就業效益：

obtainemploymentbenefit = s * [xi*c + yi*d]  (I = 1~20)

       其中s為一個人就業的社會效益值；c、d分別為小、大MS可提供的就業崗位個數。

4 設定MS網點數學模型的建立與求解

4.1 模型建立了

       通過以上分析可知，對商區內MS網點的設計有多個目標和多個限制條件，為便於建立一個規劃模型，首先要確定問題所涉及的幾個目標函式。在對問題的分析中，已構建了幾個描述問題目標和限制條件的數學表示式，容易發現設定MS網點的經濟效益、潛在效益和就業效益可以作為目標函式，而且3個目標函式都要求最大化，多目標不利於問題的求解。於是可先用偏好性係數加權法將多目標問題轉化為單目標問題，其表示式為：

       其中，目標函式F綜合體現了經濟效益、潛在效益和就業效益，稱之為綜合效益；k1，k2和k3有兩方面的涵義，一是作為偏好性加權係數，二是充當修正係數的作用，以保證經濟效益、潛在效益和就業效益3個目標函式的量化值在數值上近似相等。

       至此建立以下的單目標規劃模型：

       s.t.：

       關於約束條件的說明：

（1）條件1和2是為了分別滿足觀眾的購物需求和各商區的MS分佈均勻的要求，這裡引入了一個限制方差上線的I*以調節各商區MS分佈的均勻程度，I*值越大，表明對MS分佈均勻程度的限制越寬鬆，I*越小則對這種均勻程度要求越高，特殊的是當I*為0時表明各商區的MS數量必須相等。考慮實際情況，儘管各商區的面積都相等，但由於地理、交通等因素，各商區的商圈還是有點不同的，正如題目要求的各商區的MS分佈只是基本均衡。

       （2）條件5和6是為了給出各商區內大小兩種MS數量的上線，以便計算機求解。

       （3）條件7給出了兩種MS數量的比例關係，所以給出了它們比例的上下限，一般來講，一個商區內的小MS的數量都要比大MS的數量多，所以令b1 = 1，同時這種比例不宜過大，所以定上限b2 = 10。

4.2 模型求解

       1.模型求解的理論分析

       該模型是一個多變數非線性單目標規劃模型，模型是否有解主要取決於限制條件。分析模型的限制條件會發現1和2構成了又多組解的而原方程組，而其他的一些約束條件則在一定程度上限定了一些解，再由目標函式則可很快地找到最優解，基於這樣的分析可以認為該模型有最優解。

       2.模型中一些引數的確定

       （1）k1，k2，k3和S

       k1，k2，k3分別為加權因子，這3個子目標函式中經濟效益最重要，而且它有明確意義的數值概念，即是以收入的貨幣（元）來衡量的，所以可以將潛在效益和就業效益也轉化為經濟效益。由潛在效益的數學表示式可以發現，當利潤率為定值時，潛在效益也為定值，潛在效益僅是利潤率的函式，所以為了便於問題的求解，令k2 = 0.（說明，並不是對潛在效益不重視，只是為了便於問題的求解。）

       個人的就業效益值可以他的工資來衡量，並認為一個工作人員一天的工資為100元，即S = 100.此時可以簡便地令k1 = k3 = 1.

       （2）N和r

       各商區各MS的利潤率N應該相等，N月帶，MS的盈利額就越高，但N值過大會產生負面效應，暫且規定N = 10%。

       根據統計的結果可以很快計算出： cj = 202，當N = 1時，計算出r。

       （這裡的cj營業額是從實際資料獲取。感覺是不是有一個原則：對於可以從現實世界中獲取的準確資料，一定要從實際出發，但是像上面的權重什麼的，則可以根據相關聯絡分析，給出一個假定值。）

       （3）a，b，c和d

       基於對附近小MS每天人流量的調查和體育館周邊商區的商圈大小，認為小MS的標準容量a = 1000，大MS的標準容量b = 8000，小MS可以提供的就業崗位c = 20，大MS提供的就業崗位d = 100.

       （4）c’ 和c’’

       這兩個引數分別為小、大MS的每天的折舊費用，考慮實際情況，暫令c’ = 10000，c’’ = 200000.

       3.模型求解的結果

       通過分析可知，該模型是一個非線性整數規劃問題。其中，約束條件5和6要求與約束條件1在一定程度上是矛盾的，導致解空間大大縮小了；約束條件2要求各商區MS總數的方差要在一定範圍內，但是由於各商區的總人流量不等，最大的為278096，最小的僅為60000，因此要同時滿足約束條件1和2，解空間就會變得恨不規則，所以這個問題的求解是比較困難的。

實際中，採用Lingo軟體，通過執行幾次程式發現，要找到最優解非常困難，有時需要連續計算一個半小時以上，而找到可行解則花費的時間比較少，並且迭代一段時間後，目標函式僅在一個較小的區域內發生變化，和最優解相差無幾。

通過中斷求解過程發現，這時的解和最優解差別也不大，所以認為用得到可行解後迭代至目標函式變化不明顯的解來代替最優解是合理的，是可以接受的。當各引數的取值為：a = 1000，b = 8000，k1 = 1，k3 = 1，c’ = 10000，c’’ = 200000，c = 20，d = 100，S = 100，N = 0.1，I* = 800，t = 1.5，b1 = 1，b2 = 6時，求得的最優解如下表所示（同時為了給出一種比較好的MS網路設計方案，對兩個重要引數t，b2分別賦予不同的值求解進行比較，比較的結果如圖所示）：

       從上圖可知，變化趨勢大體上是目標函式值隨自變數的增大而增大。所以選擇使目標函式最大的一組引數，可得對應的最優解。