圓圈中最後剩下的數
阿新 • • 發佈：2019-09-14
讓小朋友們圍成一個大圈。然後，隨機指定一個數 m，讓編號為 0 的小朋友開始報數。每次喊到 m-1 的那個小朋友要出列唱首歌，然後可以在禮品箱中任意的挑選禮物，並且不再回到圈中，從他的下一個小朋友開始，繼續 0...m-1 報數 .... 這樣下去 .... 直到剩下最後一個小朋友，可以不用表演。
思路:
如果只求最後一個報數勝利者的話，我們可以用數學歸納法解決該問題，為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人 繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解： 例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情 況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n。
令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]。
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。 因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1。
public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
if (n == 0) /* 特殊輸入的處理 */
return -1;
if (n == 1) /* 遞迴返回條件 */
return 0;
return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
}