1.完全二叉樹的概念

      若設二叉樹的深度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第 h 層所有的結點都連續集中在最左邊，這就是完全二叉樹。

     完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對於深度為K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度為K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之為完全二叉樹。     (1)所有的葉結點都出現在第k層或k-l層（層次最大的兩層）     (2)對任一結點，如果其右子樹的最大層次為L，則其左子樹的最大層次為L或L+l。     一棵二叉樹至多隻有最下面的兩層上的結點的度數可以小於2，並且最下層上的結點都集中在該層最左邊的若干位置上，則此二叉樹成為完全二叉樹，並且最下層上的結點都集中在該層最左邊的若干位置上，而在最後一層上，右邊的若干結點缺失的二叉樹，則此二叉        樹稱為完全二叉樹。       

 

 

 

2.堆的概念

          堆（英語：heap)是電腦科學中一類特殊的資料結構的統稱。堆通常是一個可以被看做一棵樹的陣列物件。堆總是滿足下列性質：

         a.堆中某個節點的值總是不大於或不小於其父節點的值；

         b.堆總是一棵完全二叉樹。

         如果某個節點的值總是小於其父節點的值，稱為大根堆（a），如果總是大於其父節點的值，稱為小根堆（b）。

 

3.堆排序原理

  a.將排序元素構建成堆（升序採用大頂堆，降序採用小頂堆）

  b.取出堆頂元素

  c.將剩下元素繼續構造成堆

  重複b c 步驟即可實現堆排序，下面以array=[4,6,8,5,9]陣列的升序排序具體說明過程

  

 

 第一步：將陣列元素對映成完全二叉樹，如上圖

 

 第二步：找出完全二叉樹中序號最大的非葉子節點（這裡比較難理解），這個數+1也是這棵數的非葉子節點數量，下面給出推導過程：

可以分兩種情形考慮：

①樹的最後一個非葉子節點若只有左孩子

②樹的最後一個非葉子節點有左右兩個孩子

完全二叉樹的性質之一是：如果節點序號為i，在它的左孩子序號為2*i+1，右孩子序號為2*i+2。

 對於①左孩子的序號為n-1，則n-1=2*i-1，推出i=n/2-1；

 對於②左孩子的序號為n-2，在n-2=2*i-1，推出i=(n-1)/2-1；右孩子的序號為n-1，則n-1=2*i+2，推出i=(n-1)/2-1；

很顯然，當完全二叉樹最後一個節點是其父節點的左孩子時，樹的節點數為偶數；當完全二叉樹最後一個節點是其父節點的右孩子時，樹的節點數為奇數。

根據java語法的特徵，整數除不盡時向下取整，則若n為奇數時(n-1)/2-1=n/2-1。

因此對於②最後一個非葉子節點的序號也是n/2-1。

對於上面給出的完全二叉樹結構，根據上面的推導，可以計算出最後一個非葉子節點的  序號 lastNoChildNodeIndex = arr.lenth/2-1=5/2-1=1,即這棵樹中序號為0和1的節點均為非葉子節點。

第三步：開始將這棵完全二叉樹調整為最大堆，從最後一個非葉子節點開始調整，依次往序號較低的葉子節點進行，上面的樹有0,1兩個葉子節點，首先調整序號為1的葉子節點

 

調整思路：序號為1的葉子節點值為6，它的兩個子節點分別為5和9，明顯，三個值中，最大的值為9，要滿足最大堆，9和6交換。按理說，交換值後，需要考慮序號4即6的位置是否滿足最大堆要求，但是由於序號4處是葉子節點，所以滿足要求。

第四步：調整序號為0的非葉子節點

 

 

 調整思路：

 0號節點的值以及兩個子節點三個值中，明顯9最大，交換4和9的值，此時，被交換過的節點1是非葉子節點，且不滿足最大堆要求，下面繼續調整節點1使其滿足最大堆的要求。

第五步：節點1的三個值中，明顯6的值最大，交換6和4的值。

 到這裡一個最大堆就建立起來了。堆頂元素9即為整個陣列的最大值。

 第六步：將9和4進行交換，其實就是把9放在樹的末尾節點，9後面就不參與排序了。

 

 

 第七步：將剩下的節點用上述方式重新調整為最大堆

 

 

 第八步：將堆頂元素8和最後的子節點元素5交換，此時，第二大元素8產生，交換後不再參與排序。

 

 

 重複上面上述的構建最大堆，將最大元素交換到樹節點尾，最後得到的結果如下：

 

 到此，完成了所有排序。

4.堆排序java程式碼實現

public class heapSorted {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {4, 6, 8, 5, 9};
        for(int i = 0;i< arr.length;i++){
            System.out.println(arr[i]);
        }
        arr =  sortHeap(arr);

        for(int i = 0;i< arr.length;i++){
            System.out.println(arr[i]);
        }

    }


    private static int[] sortHeap(int[] arr) {
        int len = arr.length;
        //構建最大堆
        buildMaxHeap(arr, len);

        for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
            //堆頂元素（序號為0）和當前堆的最後一個節點（序號i）交換
            swap(arr, 0, i);
            //堆元素總數減一，即將當前樹結構最後一個節點排除，不參與下一輪堆結構構建
            len--;
            //重新構建大頂堆
            reBuildHeap(arr, 0, len);
        }
        return arr;
    }

    /**
     * 構建大頂堆
     * @param arr
     * @param len
     */
    private static void buildMaxHeap(int[] arr, int len) {
        //(int) Math.floor(len >> 1) = len/2-1 即最大非葉子節點的序號
        for (int i = (int) Math.floor(len >> 1); i >= 0; i--) {
            //從最大非葉子節點開始，依次調整每個非葉子節點，使其滿足最大堆要求（比如說最大非葉子節點序號為3，那麼一次要調整的非葉子節點為3、2、1、0）
            //調整完畢，最大堆就構建完成
            reBuildHeap(arr, i, len);
        }
    }

    /**
     * 堆調整
     *
     * @param arr
     * @param i
     * @param len
     */
    private static void reBuildHeap(int[] arr, int i, int len) {
        //1. i為傳進來的非子樹節點的序號
        //2. len為排序陣列的長度
        //3. left為i節點的左子樹節點序號
        int left = 2 * i + 1;
        //4. right為i節點的右子樹節點序號
        int right = 2 * i + 2;
        //5. largest為i、left、right三個節點中值最大的節點序號，暫時假定i節點值最大
        int largest = i;
        //6.如果左節點存在並且左節點的值大於最大值節點（目前為i）的值，則將左節點序號賦給值最大節點序號
        if (left < len && arr[left] > arr[largest]) {
            largest = left;
        }
        //7.如果右節點存在並且右節點的值大於最大值節點的值，則將右節點序號賦給值最大節點序號
        if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }
        //8.上述兩個判斷，其實就是為了找到三個節點中，值最大的序號的值largest;

        if (largest != i) {
            //9.i和largest不相等，說明i,right,left三個節點中，其中一個子節點（left或者right）比父節點i大，因為是大頂堆，此時要交換父節點和最大子節點的值
            swap(arr, i, largest);
            //10.由於交換了父親節點和其中一個子的位置，所以被交換成父親值的子節點可能不滿足最大堆的要求，因此重建該子節點的堆結構
            //注意：此時的largest序號處變成了父親節點的值，也就是說，他已經不再是最大值！！
            reBuildHeap(arr, largest, len);
        }

    }

    /**
     * 值交換函式
     *
     * @param arr
     * @param i
     * @param j
     */
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
}

5.總結

  要完全理解堆排序需要深刻搞懂一下幾點

 a.什麼是堆

 b.堆排序的思想

 c.序號最大的非葉子節點的計算原理

 d.怎麼將堆頂元素提取出來

 f.提取出堆頂元素後，剩下的元素怎麼再構建成堆

 

備註：文章中的圖都是從網上找的，程式碼也是參考敲了一遍，理解了再敲一遍更容易理解~