老久沒更了，冬令營也延期了（延期後豈不是志願者得上學了？） 最近把之前欠了好久的債，諸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了（啊我承認之前只會用，沒有理解證明……），FFT老多人寫，而MatrixTree沒人證我就寫一下吧…… Matrix Tree結論 ----- Matrix Tree的結論網上可多，大概一條主要的就是，圖中生成樹的數量等於 $V-E$ 的任一餘子式，其中： - $V$ 為對角陣，第 $i$ 個元素為點 $i$ 的度數 - $E$ 為對稱陣，對角線為零且 $E_{i,j}$ 為點 $i$ 與點 $j$ 之間邊的數量的**相反數** 這個結論眾人皆知，但我好像沒怎麼搜到證明？ 圖的關聯矩陣 ----- > 為了求無向圖中有多少組 $n-1$ 條邊可以形成樹，一般需要列舉所有的可能，無法在多項式內解決，但我們利用數學工具將其轉換——引入關聯矩陣 **為了後面討論我們給每條邊隨意分配一個方向。** 圖的鄰接矩陣是一個 $n\times n$ 的用於儲存圖的矩陣。而關聯矩陣 $A$ 則為 $n\times m$ 的矩陣，其中行對應點，列對應邊，如果 $A_{i,j}$ 非零，則說明第 $j$ 條邊的起點或終點為點 $i$（如 $i$ 為起點則為 $+1$，終點則為 $-1$，否則為 $0$）。如下圖即為一張 $4$ 點 $5$ 邊的圖的關聯矩陣： $$ \begin{bmatrix} +1 & -1 & +1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & +1 & -1\\ 0 & +1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $$ 可以看到，如果只考慮這張圖的結構的話，關聯矩陣的行之間或列之間隨意交換都是無所謂的（行交換代表點重新編號……） ----- 我們可以證明一個結論，任意連通圖的關聯矩陣秩為 $n-1$。 有兩種理解方式： - 按行來看： - 首先去掉任意一行都是可以復原的：因為每一列都是一個 $+1$ 一個 $-1$，可以輕鬆由其他 $n-1$ 行得到這一行。故去掉任意一行不會丟失資訊，秩 $\le n-1$； - 其次去掉任意兩行都是無法復原的：因為任意去掉兩行 $x,y$，在這張連通圖上找到一條 $x$ 到 $y$ 的路徑，取其中 $x\to y$ 方向第一條邊 $a$、$y\to x$ 方向第一條邊 $b$，則在還原關聯矩陣時無法確定非零位置是 $(x,a)\&(y,b)$ 還是 $(x,b)\&(y,a)$。故去掉任意兩行都會丟失資訊，秩 $\ge n-1$ - 再按列來看更為顯然： - 由於列對應邊，故選取若干列，若這些列對應的邊在圖上組成了環，則一定線性相關（因為將環按一個方向捋一遍然後加起來一定為零） - 故要求“最多的線性無關的列”，也即求“在不出現環的前提下最多能找出多少邊”，答案顯然為 $n-1$ 這下從行列兩個方向證明了這個結論，但有何用處呢？ 我們剛在從列的方向證明結論時用到了“生成樹”的概念，仔細考慮一下，求“圖中有多少種 $n-1$ 條邊的組合沒有環”，等價於求“**關聯矩陣中有多少種 $n-1$ 列的組合線性無關**” 同時我們證明了 $n$ 個行中總有一個是多餘的，故考慮刪去其中一行對答案無影響。 這下將圖中的問題轉化為了矩陣中的問題，但是否將過程複雜化了呢？ Binet-Cauchy公式 ----- 為了解決這個問題，我們需要引入 Binet-Cauchy公式： 若存在 $n\times m$ 的矩陣 $A$ 與 $m\times n$ 的矩陣 $B$，則矩陣 $AB$ 的行列式等於：從 $m$ 中任意選取 $n-1$ 個指標，並取出 $A$ 的這 $n$ 列得到 $A'$，和 $B$ 的這 $n$ 行的得到 $B'$，將它們行列式乘起來得到 $\det A'\times \det B'$，對所有共 $C_m^n$ 種選取情況求和。 數學表達： $$ \det (AB)=\sum_{S\sube U,|S|=n}\det(A_S)\det(B_S) $$ （其中 $U$ 表示集合 $\{1,2,\dots,m\}$，$A_S$ 表示取出 $S$ 中下標的列組成的矩陣，$B_S$ 表示取出 $S$ 中下標的行組成的矩陣） 可以發現其中幾種特殊情況： - $n=1$：此時公式等價於計算兩個 $m$ 維向量的點積 - $n=m$：此時公式等價於表示 $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 的行列式可乘性質 - $n>m$：此時公式中由於無法選出任何一組，故右邊恆等於 $0$，其表達的其實是矩陣 $AB$ 不滿秩 ------ 這個公式的證明過於繁瑣，不予展開，但可以感性理解：$AB$ 是 $A$ 的以 $B$ 為係數的線性組合，將 $AB$ 的行列式展開後分離貢獻，$\det (A_S)$ 的係數是 $\det(B_S)$ 利用公式 ----- 為了解決這個問題引入這個公式，很明顯是和其中的共同擁有的“任意選取”、“線性無關”兩個因素有關。 很容易想到是想要將圖的關聯矩陣 $D$（去掉一行後）放入 $A$ 或 $B$ 的位置，但具體怎麼放，另一個矩陣又是什麼？ > 引理：連通圖的關聯矩陣中，任意一個子矩陣的行列式都為 $\pm 1$ 或 $0$ > > 證明： > > - 若子矩陣不可逆，則行列式自然為零 > - 若子矩陣可逆，則不可能每一列都同時存在兩個非零項（否則每一列都是一個 $+1$ 一個 $-1$，將所有行加起來一定是 $0$），故按只有一個非零項的列進行行列式展開，則可以歸納至低一階的情況 有了這個引理，可以非常自然的考慮將 $A$ 設為 $D$，$B$ 設為 $D^T$，則 $A_S$ 和 $B_S$ 都是取 $D$ 的不同列向量組成的矩陣。 由於我們證明了，列線性無關的子矩陣行列式一定為 $\pm 1$，則平方後一定為 $1$。再利用上述公式，故原問題的的答案即為 $\det (AB)$ ----- 至於 $AB$ 是啥？$AB=DD^T$ 考慮下關聯矩陣 $D$ 的定義，即可發現 $(AB)_{i,j}$： - 當 $i=j$ 時：$(AB)_{i,i}$ 為 $D$ 第 $i$ 行與自己的點積，由於非零項都為 $\pm 1$，則 $(AB)_{i,i}$ 即為第 $i$ 行的非零項個數——即點 $i$ 的度數 - 當 $i\ne j$ 時：$(AB)_{i,j}$ 為 $D$ 第 $i$ 行與 $j$ 的點積，由於每一列都只有兩個元素（一個 $+1$ 一個 $-1$），故每個位置如果有值，則一定為 $-1$，$(AB)_{i,j}$ 即為它們求和——點 $i$ 與點 $j$ 之間邊的數量的相反數 總結 ----- 回顧整個過程： - 問題一開始是“**有多少種選取 $n-1$ 條邊的方式，使選出的邊構成樹**” - 然後引入圖的關聯矩陣，證明了其秩為 $n-1$，同時也發現問題等價於“**有多少種在關聯矩陣中選取 $n-1$ 列的方式，使選出的列線性無關**”（同時發現刪去關聯矩陣任意一行對答案無影響） - 針對“任意選取”和“線性無關”兩個特點，引入了同樣擁有這兩個特點的 Binet-Cauchy公式 - 利用 Binet-Cauchy任意選取的特點，和“線性無關$\iff$ 行列式非零”的性質，希望將關聯矩陣放入公式 - 為了將關聯矩陣放入公式，證明了關聯矩陣中任意一個子矩陣行列式為 $\pm 1$ 或 $0$ - 巧妙地將 $A$ 設為 $D$，$B$ 設為 $D^T$，則得到的結果 $\det(AB)$ - 等價於：任取 $D$ 的 $n-1$ 列求出行列式，平方後求和。 - 等價於：任取 $D$ 的 $n-1$ 列，行列式非零的方案數 - 考慮 $AB=DD^T$ 的現實意義，得到開頭提到的Matrix Tree定理 有向生成樹的擴充套件 ----- 剛才討論的都是無向生成樹，可以考慮到有向生成樹的情況： - 由於點可以重新標號，我們只考慮以 $1$ 號點為根的情況 - 由於內向生成樹可以將邊取反後求外向生成樹，故只考慮外向生成樹的情況 考慮外向生成樹關聯矩陣的特點：除了根以外每一行都只有一個 $-1$（樹上只有一個父親） 而若生成樹不是外向生成樹，則一定存在一個點 $x$，關聯矩陣中 $x$ 對應的那一行沒有 $-1$ 所以可以考慮將原來每條邊“一個 $+1$ 一個 $-1$”中的 $+1$ 置為零，則在計算時： - 如果這棵生成樹不是外向生成樹，則一定存在一行全為零，其行列式也為零 - 如果這棵樹是外向生成樹，由於每一行有一個 $-1$，故其行列式為 $(-1)^{n-1}$ 也只可能為