279. 完全平方數

題目描述

給定正整數n，找到若干個完全平方數（比如1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

示例1:

輸入: n = 12
輸出: 3 
解釋: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

輸入: n = 13
輸出: 2
解釋: 13 = 4 + 9.

思路一：暴力 dfs （時間超時）

先給n開平方，確定上界，假定根號n等於k 遞迴，從1-k中選出多個值，每個值可選可不選，而且還能重複選，記錄選中的次數 當前和如果剛好等於n,則更新cnt

 1 class Solution {
 2     public
 
 int numSquares(int n) {
 3         if(n <= 0){
 4             return 0;
 5         }
 6 
 7         // 先給n開平方，確定上界，假定 根號n等於k
 8         int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
 9         traceBack(n, 0, sqrt, 0);
10         return cnt;
11     }
12 
13     public int cnt = 1 << 30;
14 
15     // 遞迴，從1-k中選出多個值，每個值可選可不選，而且還能重複選，記錄選中的次數
 

16     public void traceBack(int n, int nowSum, int index, int count){
17         // 越界，或者如果大於n, 直接返回
18         if(index <= 0 || n < nowSum){
19             return;
20         }
21         // 邊界如果剛好等於n, 則更新cnt
22         if(n == nowSum){
23             cnt = Math.min(cnt, count);
24         }
25 
26
 
         // 對於每個數可選也不可選
27         // 選
28         if(nowSum + index * index <= n){
29             traceBack(n, nowSum + index * index, index, count + 1);
30         }
31 
32         // 不選
33         traceBack(n, nowSum, index-1, count);
34     }
35 }

通過了287個測試用例，然後就超時了

複雜度分析：

時間複雜度：對小於√n 的所有數都進行列舉，而且每個數還不止列舉一遍，所以這個複雜度就不太好算了，我覺得是 2ⁿ√n

空間複雜度：遞迴棧的深度，我覺得是√n

思路二：動態規劃

參考：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/hua-jie-suan-fa-279-wan-quan-ping-fang-shu-by-guan/

dp[i]表示組成i的最少完全平方的個數 i和(i-j*j)的最終結果就相差一個完全平方數j*j,所以dp[i]和dp[i-j*j]就相差1 dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-j*j]+1); dp[0] = 0; 邊界值dp[i]=i,因為組成i的最少完全平方的個數最大為i,即全是由1組成的

 1 class Solution {
 2     public int numSquares(int n) {
 3         if(n <= 0){
 4             return 0;
 5         }
 6 
 7         int[] dp = new int[n+1];
 8         dp[0] = 0;
 9         for(int i = 1; i <= n; i++){
10             dp[i] = i;
11             for(int j = 0; i - j*j >= 0; j++){
12                 dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j*j] + 1);
13             }
14         }
15         return dp[n];
16     }
17 }

leetcode 執行用時：42 ms > 64.61%, 記憶體消耗：37.5 MB > 94.62%

複雜度分析：

時間複雜度：O(n√n). 兩個for迴圈，外層迴圈的迴圈次數是n, 內層迴圈的迴圈次數最大為√n, 所以總的時間複雜度為O(n√n) 空間複雜度：O(n). 需要一個大小為 (n+1)的陣列，所以空間複雜度為O(n)

思路三：完全揹包

思路參考：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/yi-ge-wan-quan-bei-bao-wen-ti-by-wtffqbpl/